Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com um par de equações paramétricas e transformar isso em uma equação cartesiana. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda diferentes formas de representar curvas no plano. Para resolver isso, vamos precisar eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as duas equações que temos:
Nosso objetivo é eliminar o
para relacionar
diretamente com
. Para isso, vamos resolver uma das equações para
e substituir na outra.
Passo 3
Vamos resolver a segunda equação para
:
Agora que temos
em termos de
, podemos substituir isso na primeira equação para encontrar
em termos de
.
Passo 4
Substituindo
na equação de
:
Agora, vamos expandir o quadrado para simplificar a expressão:
Simplificando mais:
Passo 5
Pronto! Agora temos a relação direta entre
e
, que é a equação cartesiana da curva. Se quisermos, podemos reescrever isso para deixar claro que é uma parábola:
Pode-se também completar o quadrado para identificar melhor a forma da curva, mas a equação
já nos dá a ideia de que se trata de uma parábola aberta para o lado.
Resposta
A equação cartesiana da curva é:
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(a) Use o método da separação de variáveis para obter a solução geral da EDP:
.
Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
© Obtenha a transformada de Laplace da função