Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com um par de equações paramétricas e transformar isso em uma equação cartesiana. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda diferentes formas de representar curvas no plano. Para resolver isso, vamos precisar eliminar o parâmetro e encontrar uma relação direta entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas equações que temos:
Nosso objetivo é eliminar o para relacionar diretamente com . Para isso, vamos resolver uma das equações para e substituir na outra.

Passo 3

Vamos resolver a segunda equação para :
Agora que temos em termos de , podemos substituir isso na primeira equação para encontrar em termos de .

Passo 4

Substituindo na equação de :
Agora, vamos expandir o quadrado para simplificar a expressão:
Simplificando mais:

Passo 5

Pronto! Agora temos a relação direta entre e , que é a equação cartesiana da curva. Se quisermos, podemos reescrever isso para deixar claro que é uma parábola:
Pode-se também completar o quadrado para identificar melhor a forma da curva, mas a equação já nos dá a ideia de que se trata de uma parábola aberta para o lado.

Resposta

A equação cartesiana da curva é:

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