Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma partícula com massa e carga , que tem a mesma carga que um anel carregado com carga total . Essa partícula está se movendo ao longo do eixo do anel, em direção ao seu centro, com uma velocidade inicial quando está muito, muito longe do anel (praticamente no infinito). A pergunta é: qual é a menor distância que essa partícula vai chegar do centro do anel?
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de energia cinética, energia potencial elétrica e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a conservação de energia. A energia total da partícula no início (quando está no infinito) é apenas a sua energia cinética, já que a energia potencial elétrica neste ponto é zero (porque a distância é infinita). Conforme a partícula se aproxima do anel, parte dessa energia cinética é convertida em energia potencial elétrica.
A lei da conservação de energia nos diz que a energia total inicial será igual à energia total final:
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética inicial da partícula. A energia cinética () é dada por:
Agora, precisamos encontrar a expressão para a energia potencial elétrica da partícula quando ela está a uma distância do centro do anel.
Passo 4
A energia potencial elétrica () de uma carga em presença de uma distribuição de cargas como um anel com carga a uma distância ao longo do eixo do anel é dada por:
Onde:
é o raio do anel,
é a permissividade do vácuo.
Mas como a partícula está se movendo ao longo do eixo e queremos a menor distância, vamos considerar que no ponto mais próximo, a velocidade da partícula será zero (pois ela para momentaneamente antes de voltar). Então, a energia potencial nesse ponto será igual à energia cinética inicial.
Passo 5
Aplicando a conservação de energia:
Queremos encontrar , a menor distância. Vamos rearranjar a equação para isolar :
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, isolamos :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Finalmente, isolamos :
Resposta
A menor distância entre a partícula e o centro do anel é: