© Uma partícula puntiforme de massa m e carga q, de mesmo sinal que Q, encontra-se em movimento ao longo do eixo do anel, em direção ao seu centro. Sabendo que sua velocidade inicial, quando ela está infinitamente afastada do anel, vale v0, qual será a menor distância entre a partícula e o centro do anel?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma partícula com massa m e carga q, que tem a mesma carga que um anel carregado com carga total Q. Essa partícula está se movendo ao longo do eixo do anel, em direção ao seu centro, com uma velocidade inicial v0 quando está muito, muito longe do anel (praticamente no infinito). A pergunta é: qual é a menor distância que essa partícula vai chegar do centro do anel?
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de energia cinética, energia potencial elétrica e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a conservação de energia. A energia total da partícula no início (quando está no infinito) é apenas a sua energia cinética, já que a energia potencial elétrica neste ponto é zero (porque a distância é infinita). Conforme a partícula se aproxima do anel, parte dessa energia cinética é convertida em energia potencial elétrica.
A lei da conservação de energia nos diz que a energia total inicial será igual à energia total final:
Ecinética inicial = Epotencial final é

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética inicial da partícula. A energia cinética ( Ec) é dada por:
Ec = 12 m v0^2
Agora, precisamos encontrar a expressão para a energia potencial elétrica da partícula quando ela está a uma distância x do centro do anel.

Passo 4

A energia potencial elétrica ( U) de uma carga q em presença de uma distribuição de cargas como um anel com carga Q a uma distância x ao longo do eixo do anel é dada por:
U = 14 pi varepsilon0 q QraizR^2 + x^2
Onde:
  • R é o raio do anel,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
Mas como a partícula está se movendo ao longo do eixo e queremos a menor distância, vamos considerar que no ponto mais próximo, a velocidade da partícula será zero (pois ela para momentaneamente antes de voltar). Então, a energia potencial nesse ponto será igual à energia cinética inicial.

Passo 5

Aplicando a conservação de energia:
12 m v0^2 = 14 pi varepsilon0 q QraizR^2 + xmin^2
Queremos encontrar xmin, a menor distância. Vamos rearranjar a equação para isolar xmin:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por raizR^2 + xmin^2:
12 m v0^2 raizR^2 + xmin^2 = 14 pi varepsilon0 q Q
Agora, isolamos raizR^2 + xmin^2:
raizR^2 + xmin^2 = 14 pi varepsilon0 q Q12 m v0^2 = q Q2 pi varepsilon0 m v0^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
R^2 + xmin^2 = ( q Q2 pi varepsilon0 m v0^2 )^2
Finalmente, isolamos xmin:
xmin = raiz ( q Q2 pi varepsilon0 m v0^2 )^2 - R^2

Resposta

A menor distância entre a partícula e o centro do anel é:
xmin = raiz ( q Q2 pi varepsilon0 m v0^2 )^2 - R^2

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