© Uma partícula puntiforme de massa e carga , de mesmo sinal que , encontra-se em movimento ao longo do eixo do anel, em direção ao seu centro. Sabendo que sua velocidade inicial, quando ela está infinitamente afastada do anel, vale , qual será a menor distância entre a partícula e o centro do anel?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma partícula com massa e carga , que tem a mesma carga que um anel carregado com carga total . Essa partícula está se movendo ao longo do eixo do anel, em direção ao seu centro, com uma velocidade inicial quando está muito, muito longe do anel (praticamente no infinito). A pergunta é: qual é a menor distância que essa partícula vai chegar do centro do anel?
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de energia cinética, energia potencial elétrica e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a conservação de energia. A energia total da partícula no início (quando está no infinito) é apenas a sua energia cinética, já que a energia potencial elétrica neste ponto é zero (porque a distância é infinita). Conforme a partícula se aproxima do anel, parte dessa energia cinética é convertida em energia potencial elétrica.
A lei da conservação de energia nos diz que a energia total inicial será igual à energia total final:
é

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética inicial da partícula. A energia cinética ( ) é dada por:
Agora, precisamos encontrar a expressão para a energia potencial elétrica da partícula quando ela está a uma distância do centro do anel.

Passo 4

A energia potencial elétrica ( ) de uma carga em presença de uma distribuição de cargas como um anel com carga a uma distância ao longo do eixo do anel é dada por:
Onde:
  • é o raio do anel,
  • é a permissividade do vácuo.
Mas como a partícula está se movendo ao longo do eixo e queremos a menor distância, vamos considerar que no ponto mais próximo, a velocidade da partícula será zero (pois ela para momentaneamente antes de voltar). Então, a energia potencial nesse ponto será igual à energia cinética inicial.

Passo 5

Aplicando a conservação de energia:
Queremos encontrar , a menor distância. Vamos rearranjar a equação para isolar :
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, isolamos :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Finalmente, isolamos :

Resposta

A menor distância entre a partícula e o centro do anel é:

Exercícios relacionados

(F) Duas cargas puntiformes e , separadas por uma distância , produzem um potencial em um ponto do espaço que está a uma distância finita das duas cargas. Considere que o potencial gerado por cada carga é nulo para pontos infinitamente afastados delas.
(a) As duas cargas podem ter o mesmo sinal? Justifique.
Um condutor longo, rígido, retilíneo, situado no eixo , é percorrido por uma corrente de 7 A no sentido negativo do eixo . Um campo magnético está presente, dado por , com em metros e em militeslas. Determine as componentes do vetor força magnética exercida pelo campo sobre o segmento de 2 m do condutor entre os pontos e .

Respostas:

a)
Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme . No instante o próton possui velocidade dada por e a força magnética que age sobre o próton é . Nesse instante, determine:
b) a componente do vetor velocidade.
Um condutor longo, rígido, retilíneo, situado no eixo , é percorrido por uma corrente de 7 A no sentido negativo do eixo . Um campo magnético está presente, dado por , com em metros e em militeslas. Determine as componentes do vetor força magnética exercida pelo campo sobre o segmento de 2 m do condutor entre os pontos e .

Respostas:

c)