© Uma partícula puntiforme de massa
e carga
, de mesmo sinal que
, encontra-se em movimento ao longo do eixo do anel, em direção ao seu centro. Sabendo que sua velocidade inicial, quando ela está infinitamente afastada do anel, vale
, qual será a menor distância entre a partícula e o centro do anel?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma partícula com massa
e carga
, que tem a mesma carga que um anel carregado com carga total
. Essa partícula está se movendo ao longo do eixo do anel, em direção ao seu centro, com uma velocidade inicial
quando está muito, muito longe do anel (praticamente no infinito). A pergunta é: qual é a menor distância que essa partícula vai chegar do centro do anel?
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de energia cinética, energia potencial elétrica e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a conservação de energia. A energia total da partícula no início (quando está no infinito) é apenas a sua energia cinética, já que a energia potencial elétrica neste ponto é zero (porque a distância é infinita). Conforme a partícula se aproxima do anel, parte dessa energia cinética é convertida em energia potencial elétrica.
A lei da conservação de energia nos diz que a energia total inicial será igual à energia total final:
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética inicial da partícula. A energia cinética (
) é dada por:
Agora, precisamos encontrar a expressão para a energia potencial elétrica da partícula quando ela está a uma distância
do centro do anel.
Passo 4
A energia potencial elétrica (
) de uma carga
em presença de uma distribuição de cargas como um anel com carga
a uma distância
ao longo do eixo do anel é dada por:
Onde:
-
é o raio do anel, -
é a permissividade do vácuo.
Mas como a partícula está se movendo ao longo do eixo e queremos a menor distância, vamos considerar que no ponto mais próximo, a velocidade da partícula será zero (pois ela para momentaneamente antes de voltar). Então, a energia potencial nesse ponto será igual à energia cinética inicial.
Passo 5
Aplicando a conservação de energia:
Queremos encontrar
, a menor distância. Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A menor distância entre a partícula e o centro do anel é: