Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme B=11.5 i-20 j+40 k m T. No instante t1 o próton possui velocidade dada por v=(vx i+vy j+2,0 k) km / s e a força magnética que age sobre o próton é FB=(7 times 10^-17 i+6 times 10^-17 j) N. Nesse instante, determine:
b) a componente y do vetor velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um próton movendo-se em um campo magnético uniforme B = 11.5,i - 20,j + 40,k mT. No instante t1, a velocidade do próton é v = vx,i + vy,j + 2.0,k km/s, e a força magnética que age sobre ele é FB = (7 times 10^-17,i + 6 times 10^-17,j) N. A gente precisa encontrar a componente y da velocidade, ou seja, vy.

Passo 2

Vamos lembrar qual é a relação entre a força magnética, a velocidade do próton e o campo magnético. Essa relação é dada pela força de Lorentz, que é:
FB = q,v times B
Onde:
  • q é a carga do próton.
  • v é a velocidade do próton.
  • B é o campo magnético.
  • times representa o produto vetorial.

Passo 3

Primeiro, precisamos converter as unidades para que tudo esteja no mesmo sistema. A velocidade está em km/s e o campo magnético em mT. Vamos converter:
  • 1,km/s = 1000,m/s
  • Então, v = vx,i + vy,j + 2000,k,m/s
O campo magnético já está em mT, e a força em N, que é o SI, então está tudo certo.

Passo 4

Sabemos que a carga do próton é q = 1,6 times 10^-19,C. Vamos montar a equação usando a força de Lorentz:
FB = q,v times B
Vamos expandir o produto vetorial v times B.

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
v times B = i & j & k vx & vy & 2000 11.5 & -20 & 40
Desenvolvendo o determinante:
v times B = i(vy cdot 40 - 2000 cdot (-20)) - j(vx cdot 40 - 2000 cdot 11.5) + k(vx cdot (-20) - vy cdot 11.5)
Simplificando:
v times B = i(40vy + 40000) - j(40vx - 23000) + k(-20vx - 11.5vy)

Passo 6

Agora multiplicamos pelo valor da carga q:
FB = q,v times B = 1,6 times 10^-19,C times [ i(40vy + 40000) - j(40vx - 23000) + k(-20vx - 11.5vy) ]
Isso nos dá:
FB = (1,6 times 10^-19 times (40vy + 40000))i - (1,6 times 10^-19 times (40vx - 23000))j + (1,6 times 10^-19 times (-20vx - 11,5vy))k

Passo 7

Igualamos cada componente da força magnética calculada com a força dada na questão:
Para i:
1,6 times 10^-19 times (40vy + 40000) = 7 times 10^-17
Para j:
-1,6 times 10^-19 times (40vx - 23000) = 6 times 10^-17
A componente k não é necessária para encontrar vy, então vamos focar nas duas primeiras equações.

Passo 8

Vamos resolver a primeira equação para vy:
1,6 times 10^-19 times (40vy + 40000) = 7 times 10^-17
Dividindo ambos os lados por 1,6 times 10^-19:
40vy + 40000 = 7 times 10^-171,6 times 10^-19 = 437.5

Passo 9

Agora, isolamos vy:
40vy = 437.5 - 40000
40vy = -39562.5
vy = -39562.540 = -989.0625,m/s
Como a velocidade estava em km/s, convertemos de volta:
vy = -0,989,km/s

Resposta

A componente y da velocidade do próton é vy = -0,989,km/s.

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