Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme . No instante o próton possui velocidade dada por e a força magnética que age sobre o próton é . Nesse instante, determine:
b) a componente do vetor velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um próton movendo-se em um campo magnético uniforme mT. No instante , a velocidade do próton é km/s, e a força magnética que age sobre ele é N. A gente precisa encontrar a componente da velocidade, ou seja, .
Passo 2
Vamos lembrar qual é a relação entre a força magnética, a velocidade do próton e o campo magnético. Essa relação é dada pela força de Lorentz, que é:
Onde:
é a carga do próton.
é a velocidade do próton.
é o campo magnético.
representa o produto vetorial.
Passo 3
Primeiro, precisamos converter as unidades para que tudo esteja no mesmo sistema. A velocidade está em km/s e o campo magnético em mT. Vamos converter:
Então,
O campo magnético já está em mT, e a força em N, que é o SI, então está tudo certo.
Passo 4
Sabemos que a carga do próton é . Vamos montar a equação usando a força de Lorentz:
Vamos expandir o produto vetorial .
Passo 5
Calculando o produto vetorial:
Desenvolvendo o determinante:
v times B = i(vy cdot 40 - 2000 cdot (-20)) - j(vx cdot 40 - 2000 cdot 11.5) + k(vx cdot (-20) - vy cdot 11.5)
Simplificando:
v times B = i(40vy + 40000) - j(40vx - 23000) + k(-20vx - 11.5vy)
Passo 6
Agora multiplicamos pelo valor da carga q:
FB = q,v times B = 1,6 times 10^-19,C times [ i(40vy + 40000) - j(40vx - 23000) + k(-20vx - 11.5vy) ]
Isso nos dá:
FB = (1,6 times 10^-19 times (40vy + 40000))i - (1,6 times 10^-19 times (40vx - 23000))j + (1,6 times 10^-19 times (-20vx - 11,5vy))k
Passo 7
Igualamos cada componente da força magnética calculada com a força dada na questão:
Para i:
1,6 times 10^-19 times (40vy + 40000) = 7 times 10^-17
Para j:
-1,6 times 10^-19 times (40vx - 23000) = 6 times 10^-17
A componente k não é necessária para encontrar vy, então vamos focar nas duas primeiras equações.
Passo 8
Vamos resolver a primeira equação para vy:
1,6 times 10^-19 times (40vy + 40000) = 7 times 10^-17
Dividindo ambos os lados por 1,6 times 10^-19:
40vy + 40000 = 7 times 10^-171,6 times 10^-19 = 437.5
Passo 9
Agora, isolamos vy:
40vy = 437.5 - 40000
40vy = -39562.5
vy = -39562.540 = -989.0625,m/s
Como a velocidade estava em km/s, convertemos de volta:
vy = -0,989,km/s
Resposta
A componente y da velocidade do próton é vy = -0,989,km/s.