Um condutor longo, rígido, retilíneo, situado no eixo z, é percorrido por uma corrente de 7 A no sentido negativo do eixo z. Um campo magnético está presente, dado por B=3 z^2 i+14 z^3 j+23 z^4 k, com z em metros e B em militeslas. Determine as componentes do vetor força magnética exercida pelo campo sobre o segmento de 2 m do condutor entre os pontos z1=3 m e z2=5 m.

Respostas:

c) FB, z=0 N

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio condutor longo, rígido e reto, que está alinhado no eixo B = 3 z^2 i + 14 z^3 j + 23 z^4 k (em mT) . Esse fio transporta uma corrente de 7 A no sentido negativo do eixo . Além disso, existe um campo magnético presente, descrito por:
Precisamos determinar as componentes do vetor força magnética ( ) exercida por esse campo sobre um segmento de 2 metros do condutor, que vai do ponto até .
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Lorentz, que nos permite calcular a força magnética em um condutor que transporta corrente em um campo magnético. Vamos precisar entender como integrar o campo magnético ao longo do segmento de fio para encontrar a força total.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da força magnética ( FB = I integral dl times B ) em um condutor retilíneo:
dl = -k , dz
Aqui:
  • é a corrente elétrica (7 A, no caso).
  • é um elemento de comprimento do fio na direção da corrente.
  • é o campo magnético no ponto onde está localizado.
  • O símbolo representa o produto vetorial.
Como o fio está no eixo e a corrente é no sentido negativo de , podemos expressar como:
O sinal negativo indica que a corrente está fluindo no sentido negativo de .

Passo 3

Agora, vamos substituir FB = I integralz1^z2 (-k , dz) times (3 z^2 i + 14 z^3 j + 23 z^4 k) e FB = -I integral3^5 k times (3 z^2 i + 14 z^3 j + 23 z^4 k) , dz na fórmula da força:
Vamos simplificar a integral:

Passo 4

Calculando o produto vetorial dentro da integral:
k times i = j, k times j = -i, k times k = 0
Então:
k times (3 z^2 i + 14 z^3 j + 23 z^4 k) = 3 z^2 j - 14 z^3 i + 0
Substituindo de volta na expressão da força:
FB = -I integral3^5 ( -14 z^3 i + 3 z^2 j ) , dz

Passo 5

Vamos agora integrar termo a termo:
FB = -I [ integral3^5 (-14 z^3) , dz , i + integral3^5 3 z^2 , dz , j ]
Calculando as integrais:
integral (-14 z^3) , dz = -14 cdot z^44 = -144 z^4 = -3.5 z^4
integral 3 z^2 , dz = 3 cdot z^33 = z^3
Aplicando os limites de integração de 3 a 5 metros:
Para a componente -3.5 z^4 |3^5 = -3.5 (5^4 - 3^4) = -3.5 (625 - 81) = -3.5 times 544 = -1904 , mTcdotm^4 :
z^3 |3^5 = 5^3 - 3^3 = 125 - 27 = 98 , mTcdotm^3
Para a componente :

Passo 6

Agora, substituímos esses resultados de volta na expressão da força:
FB = -I ( -1904 i + 98 j )
Lembrando que FB = -7 ( -1904 i + 98 j ) = 13328 i - 686 j , N :

Resposta

FB = 13328 i - 686 j , N

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