© A partir das suas respostas nos itens anteriores, utilize apropriadamente a lei de Gauss para obter o campo eletrostático criado pela lâmina nas regiões (i)
e (ii)
. Indique claramente a superfície gaussiana escolhida e apresente todos os passos do seu cálculo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Lei de Gauss pra encontrar o campo eletrostático criado por uma lâmina em duas regiões específicas: quando a posição
está dentro da lâmina (
) e quando está fora dela (
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Lei de Gauss, escolher uma superfície gaussiana adequada e aplicar a fórmula direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica total dentro dessa superfície dividida pela constante
. Em fórmula:
Isso ajuda muito quando temos uma distribuição de carga com certa simetria, como uma lâmina infinita ou quase infinita.
Passo 3
Agora, vamos pensar na superfície gaussiana que vamos usar. Como a lâmina é plana e a gente quer achar o campo elétrico em regiões simétricas, a melhor escolha é uma superfície em forma de cilindro (também chamada de “cilindro gaussiano”) que corta a lâmina perpendicularmente.
Passo 4
Vamos dividir a solução em duas partes:
(i) Para
:
Aqui, estamos dentro da lâmina. Vamos imaginar um cilindro gaussiano centrado nessa região. Como estamos dentro da lâmina, a carga elétrica dentro da superfície gaussiana está relacionada à densidade de carga da lâmina.
(ii) Para
:
Agora, estamos fora da lâmina. Nesse caso, toda a carga da lâmina está dentro da superfície gaussiana, e o campo elétrico dependerá da distância em relação à lâmina.
Passo 5
Vamos aplicar a Lei de Gauss para cada caso.
(i) Para
:
- Escolha da superfície gaussiana: Um cilindro com altura
e área das bases , centrado na lâmina. - Fluxo elétrico: Apenas as duas bases do cilindro contribuem, já que as laterais ficam paralelas ao campo elétrico e não contribuem.
- Cálculo do fluxo:
- Carga interna: A carga dentro da superfície é a densidade de carga
multiplicada pela área :
- Lei de Gauss:
(ii) Para
:
- Escolha da superfície gaussiana: Novamente, um cilindro, mas agora a altura do cilindro abrange toda a lâmina.
- Fluxo elétrico: Somente as duas bases contribuem para o fluxo.
- Cálculo do fluxo:
- Carga interna: Toda a carga da lâmina está dentro da superfície gaussiana:
- Lei de Gauss:
Interessante notar que o resultado é o mesmo para dentro e para fora da lâmina.
Resposta
O campo eletrostático criado pela lâmina é
tanto para
quanto para
.
Exercícios relacionados
(a) Determine as densidades superficiais de carga na superfície da cavidade e na superfície externa do condutor. Justifique a sua resposta.
(e) Qual o módulo do campo elétrico em um ponto do espaço muito afastado da lâmina
? Este resultado contraria a lei de Coulomb? Explique.
© Uma carga puntiforme
é trazida para um ponto na vizinhança da esfera condutora e mantida fixa nessa posição. Quais, dentre as seguintes quantidades, sofreram modificação: (i) densidade superficial de carga na superfície externa da esfera condutora; (ii) densidade superficial de carga na superfície da cavidade; (iii) força eletrostática sobre a carga puntiforme
, localizada dentro da cavidade. (siga a sugestão dada no problema anterior).
(b) Argumente: as componentes não-nulas do campo elétrico gerado pela lâmina podem depender de quais coordenadas
ou
?