© O que pode ser dito a respeito de e se ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando o que podemos dizer sobre os números e se a igualdade for verdadeira. Aqui, estamos lidando com logaritmos complexos, então vamos precisar entender como eles funcionam e quais são suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para números complexos, o logaritmo é definido como:
onde é o logaritmo natural do módulo de e é o argumento (ângulo) de , geralmente tomado no intervalo .

Passo 3

Sabemos que, para logaritmos reais positivos, . Porém, no caso dos logaritmos complexos, essa propriedade nem sempre é válida devido à natureza multifacetada do argumento. Ou seja, a soma dos argumentos pode sair do intervalo primário , causando um “pulo” de fase que quebra a igualdade.

Passo 4

Vamos analisar a igualdade dada:
Expandindo cada lado usando a definição do logaritmo complexo:
Simplificando o lado direito:
E o lado esquerdo:
Então, para que a igualdade seja válida, precisamos que:
mas lembrando que os argumentos são considerados no intervalo .

Passo 5

A igualdade só é verdadeira se a soma dos argumentos estiver também dentro do intervalo . Se a soma ultrapassar esse intervalo, ocorre um ajuste no argumento para mantê-lo dentro do intervalo principal, quebrando assim a igualdade original.

Passo 6

Portanto, podemos concluir que apenas se a soma dos argumentos de e não exceder o intervalo . Em outras palavras, os ângulos de e devem ser tais que a soma deles não cause deslocamento de fase além dos limites do ramo principal do logaritmo complexo.

Resposta

A igualdade é válida somente quando a soma dos argumentos de e está dentro do intervalo . Assim, e devem ter argumentos cuja soma não ultrapasse esses limites para que a propriedade do logaritmo se mantenha.

Exercícios relacionados

Dê um exemplo de uma sequência , não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(f) monótona e não limitada;
Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(b)
Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tem um dispositivo gráfico, plote a curva.
19.
Determine o valor principal da potência complexa dada.
(a)