© O que pode ser dito a respeito de
e
se
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando o que podemos dizer sobre os números
e
se a igualdade
for verdadeira. Aqui, estamos lidando com logaritmos complexos, então vamos precisar entender como eles funcionam e quais são suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para números complexos, o logaritmo
é definido como:
onde
é o logaritmo natural do módulo de
e
é o argumento (ângulo) de
, geralmente tomado no intervalo
.
Passo 3
Sabemos que, para logaritmos reais positivos,
. Porém, no caso dos logaritmos complexos, essa propriedade nem sempre é válida devido à natureza multifacetada do argumento. Ou seja, a soma dos argumentos pode sair do intervalo primário
, causando um “pulo” de fase que quebra a igualdade.
Passo 4
Vamos analisar a igualdade dada:
Expandindo cada lado usando a definição do logaritmo complexo:
Simplificando o lado direito:
E o lado esquerdo:
Então, para que a igualdade seja válida, precisamos que:
mas lembrando que os argumentos são considerados no intervalo
.
Passo 5
A igualdade
só é verdadeira se a soma dos argumentos
estiver também dentro do intervalo
. Se a soma ultrapassar esse intervalo, ocorre um ajuste no argumento para mantê-lo dentro do intervalo principal, quebrando assim a igualdade original.
Passo 6
Portanto, podemos concluir que
apenas se a soma dos argumentos de
e
não exceder o intervalo
. Em outras palavras, os ângulos de
e
devem ser tais que a soma deles não cause deslocamento de fase além dos limites do ramo principal do logaritmo complexo.
Resposta
A igualdade
é válida somente quando a soma dos argumentos de
e
está dentro do intervalo
. Assim,
e
devem ter argumentos cuja soma não ultrapasse esses limites para que a propriedade do logaritmo se mantenha.
Exercícios relacionados
Dê um exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(f) monótona e não limitada;
(f) monótona e não limitada;
Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(b)
(b)
Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tem um dispositivo gráfico, plote a curva.
19.
19.
Determine o valor principal da potência complexa dada.
(a)
(a)