Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tem um dispositivo gráfico, plote a curva.
19.
19.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. A curva é dada pelas equações paramétricas:
Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas, para achar onde a inclinação da tangente (a derivada) é zero (horizontal) ou indefinida (vertical).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para curvas paramétricas, a inclinação da tangente é dada por:
Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da inclinação:
Queremos saber onde a tangente é horizontal ou vertical.
Passo 5
Para a tangente ser horizontal, a inclinação
. Isso acontece quando o numerador é zero:
Passo 6
Resolvendo
:
Onde
é um inteiro.
Passo 7
Agora, para a tangente ser vertical, a inclinação
é indefinida, ou seja, o denominador é zero:
Onde
é um inteiro.
Passo 8
Vamos agora encontrar os pontos correspondentes para esses valores de
.
Para tangentes horizontais:
Calculamos
e
:
Para tangentes verticais:
Resposta
Os pontos na curva onde a tangente é horizontal são dados por:
para todo inteiro
.
E os pontos onde a tangente é vertical são:
para todo inteiro
.
Exercícios relacionados
© O que pode ser dito a respeito de
e
se
?
Dê um exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(f) monótona e não limitada;
(f) monótona e não limitada;
Determine o valor principal da potência complexa dada.
(a)
(a)
Em que ponto a curva
,
intercepta ela mesma? Encontre as equações de ambas as tangentes naquele ponto.
26. Em que ponto a curva ,
intercepta ela mesma? Encontre as equações de ambas as tangentes naquele ponto.
26. Em que ponto a curva