Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tem um dispositivo gráfico, plote a curva.
19. x = 2 cos(theta), y = sen(2 theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. A curva é dada pelas equações paramétricas:
Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas, para achar onde a inclinação da tangente (a derivada) é zero (horizontal) ou indefinida (vertical).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para curvas paramétricas, a inclinação da tangente é dada por:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da inclinação:
Queremos saber onde a tangente é horizontal ou vertical.

Passo 5

Para a tangente ser horizontal, a inclinação . Isso acontece quando o numerador é zero:

Passo 6

Resolvendo :
Onde k é um inteiro.

Passo 7

Agora, para a tangente ser vertical, a inclinação é indefinida, ou seja, o denominador é zero:
Onde k é um inteiro.

Passo 8

Vamos agora encontrar os pontos correspondentes para esses valores de theta.
Para tangentes horizontais:
Calculamos x e y:
Para tangentes verticais:

Resposta

Os pontos na curva onde a tangente é horizontal são dados por:
para todo inteiro k.
E os pontos onde a tangente é vertical são:
para todo inteiro k.

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