Dê um exemplo de uma sequência a_n, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(f) monótona e não limitada;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Precisamos encontrar um exemplo de uma sequência que não seja constante, mas que seja monótona e não limitada. Isso significa que a sequência deve ser sempre crescente ou sempre decrescente (monótona) e, além disso, não deve ter um limite superior ou inferior (não limitada). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são sequências monótonas e como identificar se uma sequência é limitada ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao termo anterior, ou seja, para todo . Da mesma forma, é monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao termo anterior, ou seja, para todo .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre sequências limitadas. Uma sequência é limitada se existe um número que serve como limite superior e outro que serve como limite inferior para todos os seus termos. Se não houver tais limites, a sequência é não limitada. Por exemplo, a sequência não tem um limite superior, pois continua aumentando sem parar.

Passo 4

Com base nessas definições, precisamos de uma sequência que seja monótona (crescente ou decrescente) e que não tenha limites, ou seja, que continue aumentando ou diminuindo sem restrições. Uma boa opção é a sequência . Vamos ver por quê:
  1. Monótona: A sequência é monótona crescente porque cada termo é maior que o anterior. Por exemplo, , , , e assim por diante.
  2. Não limitada: Não há um número que sirva como limite superior para essa sequência, pois aumenta indefinidamente à medida que cresce.

Resposta

Um exemplo de sequência que é monótona e não limitada é .

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