Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(b) ln(raiz(2) + raiz(6) * i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar todos os valores complexos do logaritmo de . Estamos trabalhando com logaritmos de números complexos, e para isso, vamos precisar entender como calcular o módulo e o argumento de um número complexo, além de aplicar a fórmula geral do logaritmo complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do número complexo . O módulo de um número complexo é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o argumento de , que é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real positivo no plano complexo. O argumento é dado por:
Para nosso número:

Passo 4

Com o módulo e o argumento em mãos, podemos usar a fórmula do logaritmo complexo, que é:
Onde é qualquer número inteiro, representando as múltiplas soluções devido à periodicidade do argumento.
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos simplificar da seguinte forma:

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos todas as possíveis soluções para o logaritmo complexo de :

Resposta

Todos os valores complexos do logaritmo são dados por

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