Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar todos os valores complexos do logaritmo de
. Estamos trabalhando com logaritmos de números complexos, e para isso, vamos precisar entender como calcular o módulo e o argumento de um número complexo, além de aplicar a fórmula geral do logaritmo complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo do número complexo
. O módulo de um número complexo
é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o argumento de
, que é o ângulo
que o número complexo faz com o eixo real positivo no plano complexo. O argumento é dado por:
Para nosso número:
Passo 4
Com o módulo e o argumento em mãos, podemos usar a fórmula do logaritmo complexo, que é:
Onde
é qualquer número inteiro, representando as múltiplas soluções devido à periodicidade do argumento.
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos simplificar
da seguinte forma:
Passo 5
Agora, juntando tudo, temos todas as possíveis soluções para o logaritmo complexo de
:
Resposta
Todos os valores complexos do logaritmo são dados por