© Um pogo de potencial infinito esta definido eutre x=-x1 e x=+x2, com x1. Qual é o valor esperado lang<= xrang<==I para o estado fundamental. ( 0.5 pts.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um poço de potencial infinito que vai de até , onde . A pergunta é: qual é o valor esperado de no estado fundamental desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar falar sobre funções de onda em poços de potencial e como calcular valores esperados usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um poço de potencial infinito, a partícula está confinada entre psi(x) = raiz2x1 + x2 sin(pi (x + x1)x1 + x2) e . No estado fundamental, a função de onda tem a forma de uma senoide que satisfaz as condições de contorno e . A função de onda normalizada para o estado fundamental é dada por:

Passo 3

Agora, para encontrar o valor esperado lang<= x rang<= = integral-x1^x2 psi^*(x) , x , psi(x) , dx , a gente usa a definição:
lang<= x rang<= = integral-x1^x2 psi(x) , x , psi(x) , dx = integral-x1^x2 |psi(x)|^2 x , dx
Como é real, . Então, a expressão fica:

Passo 4

Substituindo a expressão de lang<= x rang<= = 2x1 + x2 integral-x1^x2 sin^2(pi (x + x1)x1 + x2) x , dx :
lang<= x rang<= = x2^2 - x1^22(x1 + x2)
Para simplificar, podemos fazer uma mudança de variável , mas, após resolver a integral (que envolve funções pares e ímpares), percebemos que, devido à assimetria do poço ( ), o valor esperado não será zero.
Após calcular a integral, encontramos:

Resposta

O valor esperado lang<= x rang<= = x2^2 - x1^22(x1 + x2) para o estado fundamental é:

Exercícios relacionados