Uma gota esférica de mercúrio de raio possui uma capacitância dada por (Prove!). Se duas dessas gotas se combinarem para formar uma única gota maior, qual será sua nova capacitância?

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito neste exercício. Temos uma gota esférica de mercúrio com raio cuja capacitância é dada por . Nosso objetivo é provar essa fórmula e, em seguida, determinar qual será a nova capacitância quando duas dessas gotas se combinarem para formar uma única gota maior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é capacitância. A capacitância ( C = QV ) de um objeto é uma medida de quanta carga elétrica ele pode armazenar por unidade de potencial elétrico. Matematicamente, é dada por:
onde é a carga elétrica e é o potencial elétrico.

Passo 3

Para uma esfera carregada, o potencial elétrico V = 14 pi varepsilon0 cdot QR na superfície é dado por:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é o raio da esfera.

Passo 4

Substituindo a expressão de C = QV = Q14 pi varepsilon0 cdot QR = 4 pi varepsilon0 R na fórmula da capacitância, temos:
Assim, comprovamos que a capacitância da gota esférica é .

Passo 5

Agora, vamos considerar o segundo cenário onde duas gotas idênticas se combinam para formar uma única gota maior. Primeiramente, assumimos que a carga total é conservada. Se cada gota tem uma capacitância Ctotal inicial = C + C = 2 times 4 pi varepsilon0 R = 8 pi varepsilon0 R , então a capacitância total antes da combinação é:

Passo 6

Quando as duas gotas se combinam, formam uma nova gota com raio C' = 4 pi varepsilon0 R' . A capacitância dessa nova gota será:
Precisamos encontrar em termos de .

Passo 7

Considerando que o volume total das duas gotas é igual ao volume da nova gota:
2 times 43 pi R^3 = 43 pi R'^3
Simplificando:
2R^3 = R'^3 Rightarrow R' = raiz[3]2 , R

Passo 8

Substituindo C' = 4 pi varepsilon0 times raiz[3]2 , R = 4 pi varepsilon0 R times raiz[3]2 na expressão da capacitância da nova gota:

Passo 9

Analisando a relação entre a capacitância inicial C' = C times raiz[3]2 e a nova capacitância :

Resposta

A nova capacitância da gota maior é .

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