Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o Teste da Integral pode ser usado para analisar a convergência da série:
Então, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo para saber se essa série “fecha” ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é o Teste da Integral. Esse teste serve para determinar se uma série infinita converge ou diverge usando integrais. Para aplicar esse teste, a gente precisa ter uma função positiva, contínua e decrescente.

Passo 3

Vamos analisar a nossa série:
Podemos ver que os termos são positivos e, à medida que aumenta, diminui. Além disso, podemos associar isso a uma função contínua .

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral de de 0 ao infinito:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Fazendo uma substituição simples:
Seja , então ou . Quando , ; quando , .
Substituindo:

Passo 6

Calculando os limites:
Isso significa que a integral diverge.

Passo 7

Segundo o Teste da Integral, se a integral da função associada à série diverge, então a série também diverge.

Resposta

Portanto, pelo Teste da Integral, a série diverge.

Exercícios relacionados

(3 pontos) Uma quarta carga, , é trazida lentamente do infinito até o ponto P. Qual trabalho realizado pelo agente externo nesse processo? Qual o significado físico do sinal de sua resposta?
(1 pontos) Quando colocamos uma carga elétrica com o mesmo sinal que em , ela é acelerada ao longo do eixo afastando-se da haste. Determine a variação da sua energia cinética quando ela chega em . (Dica: se necessário, use onde é uma constante.) Justifique sua resposta.
(a) Um espectro teorico-experimental apresenta ibnhas (picos) associados com os valores de energia do sistema. Se as energias observadas para a particula de massa swo: Calcule o potencial que confina o sistema em função dos dados anteriores. pts.)
© Um pogo de potencial infinito esta definido eutre e , com . Qual é o valor esperado para o estado fundamental. ( 0.5 pts.)