Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o Teste da Integral pode ser usado para analisar a convergência da série:
Então, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo para saber se essa série “fecha” ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é o Teste da Integral. Esse teste serve para determinar se uma série infinita converge ou diverge usando integrais. Para aplicar esse teste, a gente precisa ter uma função positiva, contínua e decrescente.
Passo 3
Vamos analisar a nossa série:
Podemos ver que os termos são positivos e, à medida que
aumenta,
diminui. Além disso, podemos associar isso a uma função contínua
.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral de
de 0 ao infinito:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Fazendo uma substituição simples:
Seja
, então
ou
. Quando
,
; quando
,
.
Substituindo:
Passo 6
Calculando os limites:
Isso significa que a integral diverge.
Passo 7
Segundo o Teste da Integral, se a integral da função associada à série diverge, então a série também diverge.
Resposta
Portanto, pelo Teste da Integral, a série
diverge.