Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
1+13+15+17+19+cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o Teste da Integral pode ser usado para analisar a convergência da série:
1 + 13 + 15 + 17 + 19 + cdots
Então, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo para saber se essa série “fecha” ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é o Teste da Integral. Esse teste serve para determinar se uma série infinita converge ou diverge usando integrais. Para aplicar esse teste, a gente precisa ter uma função positiva, contínua e decrescente.

Passo 3

Vamos analisar a nossa série:
sumn=0^infty 12n+1
Podemos ver que os termos são positivos e, à medida que aumenta, diminui. Além disso, podemos associar isso a uma função contínua .

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral de integral0^infty 12x+1 dx de 0 ao infinito:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Fazendo uma substituição simples:
Seja integral1^infty 1u cdot du2 = 12 integral1^infty 1u du = 12 [ln u]1^infty, então ou . Quando , ; quando , .
Substituindo:

Passo 6

Calculando os limites:
12 [ln infty - ln 1] = 12 (infty - 0) = infty
Isso significa que a integral diverge.

Passo 7

Segundo o Teste da Integral, se a integral da função associada à série diverge, então a série também diverge.

Resposta

Portanto, pelo Teste da Integral, a série diverge.

Exercícios relacionados