Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos uma matriz inversa à esquerda de , que é uma matriz 4x2. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre inversas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa à esquerda e como calculá-la usando transposição e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz inversa à esquerda. Para uma matriz de tamanho , uma matriz inversa à esquerda de tamanho deve satisfazer a condição:
Onde é a matriz identidade de ordem .
Passo 3
Para que uma inversa à esquerda exista, a matriz precisa ter posto máximo, ou seja, o máximo número de colunas linearmente independentes. Como é uma matriz 4x2, o máximo posto que ela pode ter é 2. Vamos verificar o posto de .
Passo 4
O posto de é igual ao número de pivôs na sua forma escalonada. Vamos transformar para a forma escalonada:
Operando a segunda linha com a primeira:
Depois, :
E :
Agora, podemos ver que há 2 pivôs, então o posto de é 2.
Passo 5
Como o posto de é 2, que é igual ao número de colunas, a matriz tem posto máximo e, portanto, uma matriz inversa à esquerda existe.
Passo 6
A fórmula para encontrar uma matriz inversa à esquerda de é:
Onde é a transposta de , e é a inversa de .
Passo 7
Primeiro, vamos calcular :
Passo 8
Agora, calculamos :
Calculando cada elemento:
Passo 9
Agora, precisamos calcular . A inversa de uma matriz 2x2 é dada por: