© Se possível, determine uma matriz inversa à esquerda de A=[cc1 & 2 -1 & 0 2 & 2 1 & -1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos uma matriz inversa à esquerda de , que é uma matriz 4x2. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre inversas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa à esquerda e como calculá-la usando transposição e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz inversa à esquerda. Para uma matriz B A = In de tamanho , uma matriz inversa à esquerda de tamanho deve satisfazer a condição:
Onde é a matriz identidade de ordem .

Passo 3

Para que uma inversa à esquerda exista, a matriz precisa ter posto máximo, ou seja, o máximo número de colunas linearmente independentes. Como é uma matriz 4x2, o máximo posto que ela pode ter é 2. Vamos verificar o posto de .

Passo 4

O posto de A = 1 & 2 -1 & 0 2 & 2 1 & -1 é igual ao número de pivôs na sua forma escalonada. Vamos transformar R2 = R2 + R1 Rightarrow 1 & 2 0 & 2 2 & 2 1 & -1 para a forma escalonada:
1 & 2 0 & 2 0 & -2 1 & -1
Operando a segunda linha com a primeira:
1 & 2 0 & 2 0 & -2 0 & -3
Depois, :
E :
Agora, podemos ver que há 2 pivôs, então o posto de é 2.

Passo 5

Como o posto de é 2, que é igual ao número de colunas, a matriz tem posto máximo e, portanto, uma matriz inversa à esquerda existe.

Passo 6

A fórmula para encontrar uma matriz inversa à esquerda de B = (A^T A)^-1 A^T é:
Onde é a transposta de , e é a inversa de .

Passo 7

Primeiro, vamos calcular A^T = 1 & -1 & 2 & 1 2 & 0 & 2 & -1 :

Passo 8

Agora, calculamos A^T A = 1 & -1 & 2 & 1 2 & 0 & 2 & -1 1 & 2 -1 & 0 2 & 2 1 & -1 = 1(1) + (-1)(-1) + 2(2) + 1(1) & 1(2) + (-1)(0) + 2(2) + 1(-1) 2(1) + 0(-1) + 2(2) + (-1)(1) & 2(2) + 0(0) + 2(2) + (-1)(-1) :
A^T A = 1 + 1 + 4 + 1 & 2 + 0 + 4 - 1 2 + 0 + 4 - 1 & 4 + 0 + 4 + 1 = 7 & 5 5 & 9
Calculando cada elemento:

Passo 9

Agora, precisamos calcular a & b c & d . A inversa de uma matriz 2x2 1ad - bc d & -b -c & a é dada por:
det(A^T A) = (7)(9) - (5)(5) = 63 - 25 = 38
Aplicando isso a (A^T A)^-1 = 138 9 & -5 -5 & 7 :
Então,

Passo 10

Finalmente, calculamos B = 138 9 & -5 -5 & 7 1 & -1 & 2 & 1 2 & 0 & 2 & -1 :
B = 138 9(1) + (-5)(2) & 9(-1) + (-5)(0) & 9(2) + (-5)(2) & 9(1) + (-5)(-1) -5(1) + 7(2) & -5(-1) + 7(0) & -5(2) + 7(2) & -5(1) + 7(-1)
Multiplicando as matrizes:
B = 138 9 - 10 & -9 + 0 & 18 - 10 & 9 + 5 -5 + 14 & 5 + 0 & -10 + 14 & -5 - 7 = 138 -1 & -9 & 8 & 14 9 & 5 & 4 & -12
Calculando cada elemento:

Resposta

A matriz inversa à esquerda de B = 138 -1 & -9 & 8 & 14 9 & 5 & 4 & -12 é:

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