Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos uma matriz inversa à esquerda de , que é uma matriz 4x2. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre inversas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa à esquerda e como calculá-la usando transposição e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz inversa à esquerda. Para uma matriz B A = In de tamanho , uma matriz inversa à esquerda de tamanho deve satisfazer a condição:
Onde é a matriz identidade de ordem .
Passo 3
Para que uma inversa à esquerda exista, a matriz precisa ter posto máximo, ou seja, o máximo número de colunas linearmente independentes. Como é uma matriz 4x2, o máximo posto que ela pode ter é 2. Vamos verificar o posto de .
Passo 4
O posto de A = 1 & 2 -1 & 0 2 & 2 1 & -1 é igual ao número de pivôs na sua forma escalonada. Vamos transformar R2 = R2 + R1 Rightarrow 1 & 2 0 & 2 2 & 2 1 & -1 para a forma escalonada:
1 & 2 0 & 2 0 & -2 1 & -1
Operando a segunda linha com a primeira:
1 & 2 0 & 2 0 & -2 0 & -3
Depois, :
E :
Agora, podemos ver que há 2 pivôs, então o posto de é 2.
Passo 5
Como o posto de é 2, que é igual ao número de colunas, a matriz tem posto máximo e, portanto, uma matriz inversa à esquerda existe.
Passo 6
A fórmula para encontrar uma matriz inversa à esquerda de B = (A^T A)^-1 A^T é: