© Se possível, determine uma matriz inversa à esquerda de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos uma matriz inversa à esquerda de , que é uma matriz 4x2. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre inversas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa à esquerda e como calculá-la usando transposição e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz inversa à esquerda. Para uma matriz de tamanho , uma matriz inversa à esquerda de tamanho deve satisfazer a condição:
Onde é a matriz identidade de ordem .

Passo 3

Para que uma inversa à esquerda exista, a matriz precisa ter posto máximo, ou seja, o máximo número de colunas linearmente independentes. Como é uma matriz 4x2, o máximo posto que ela pode ter é 2. Vamos verificar o posto de .

Passo 4

O posto de é igual ao número de pivôs na sua forma escalonada. Vamos transformar para a forma escalonada:
Operando a segunda linha com a primeira:
Depois, :
E :
Agora, podemos ver que há 2 pivôs, então o posto de é 2.

Passo 5

Como o posto de é 2, que é igual ao número de colunas, a matriz tem posto máximo e, portanto, uma matriz inversa à esquerda existe.

Passo 6

A fórmula para encontrar uma matriz inversa à esquerda de é:
Onde é a transposta de , e é a inversa de .

Passo 7

Primeiro, vamos calcular :

Passo 8

Agora, calculamos :
Calculando cada elemento:

Passo 9

Agora, precisamos calcular . A inversa de uma matriz 2x2 é dada por:
Aplicando isso a :
Então,

Passo 10

Finalmente, calculamos :
Multiplicando as matrizes:
Calculando cada elemento:

Resposta

A matriz inversa à esquerda de é:

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(i)
Sejam
Encontre:
Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. .
Considere a matriz e o sistema linear
(ii) Para o valor de obtido em (i), o sistema tem solução única? Infinitas soluções? Não possui solução? Justifique a sua resposta.