Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. (-A)^T=-A^T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se a afirmação (-A)^T = -A^T é verdadeira ou falsa. Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, transposição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa transpor uma matriz. A transposta de uma matriz A, denotada por A^T, é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se A é uma matriz 2x3, A^T será uma matriz 3x2.
Agora, vamos falar sobre multiplicar uma matriz por um escalar. Quando multiplicamos uma matriz A por um número real, digamos -1, cada elemento da matriz A é multiplicado por esse número, resultando em -A.
Agora, vamos ver o que acontece quando aplicamos a transposição a -A. Pela definição:
( -A )^T
Isso significa que primeiro multiplicamos cada elemento de A por -1 e depois transponemos a matriz resultante.
Por outro lado, se primeiro transpusermos A e depois multiplicarmos por -1, temos:
-A^T
Aqui, primeiro obtemos a transposta de A e depois multiplicamos cada elemento por -1.
Agora, vamos ver se essas duas operações resultam na mesma coisa. Seja A uma matriz qualquer com elementos aij. Então:
(-A)^T = (-aij)^T = -aji
E
-A^T = - (aji) = -aji
Vemos que, para cada elemento correspondente, os dois resultados são iguais.

Resposta

A afirmação é verdadeira, já que (-A)^T é igual a -A^T. Ou seja, transpor uma matriz multiplicada por -1 resulta na transposta da matriz multiplicada por -1.

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