Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se a afirmação é verdadeira ou falsa. Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, transposição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa transpor uma matriz. A transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se é uma matriz 2x3, será uma matriz 3x2.
Agora, vamos falar sobre multiplicar uma matriz por um escalar. Quando multiplicamos uma matriz por um número real, digamos , cada elemento da matriz é multiplicado por esse número, resultando em .
Agora, vamos ver o que acontece quando aplicamos a transposição a . Pela definição:
Isso significa que primeiro multiplicamos cada elemento de por e depois transponemos a matriz resultante.
Por outro lado, se primeiro transpusermos e depois multiplicarmos por , temos:
Aqui, primeiro obtemos a transposta de e depois multiplicamos cada elemento por .
Agora, vamos ver se essas duas operações resultam na mesma coisa. Seja uma matriz qualquer com elementos . Então:
E
Vemos que, para cada elemento correspondente, os dois resultados são iguais.
Resposta
A afirmação é verdadeira, já que é igual a . Ou seja, transpor uma matriz multiplicada por resulta na transposta da matriz multiplicada por .