Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, transposição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa transpor uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se
é uma matriz 2x3,
será uma matriz 3x2.
Agora, vamos falar sobre multiplicar uma matriz por um escalar. Quando multiplicamos uma matriz
por um número real, digamos
, cada elemento da matriz
é multiplicado por esse número, resultando em
.
Agora, vamos ver o que acontece quando aplicamos a transposição a
. Pela definição:
Isso significa que primeiro multiplicamos cada elemento de
Por outro lado, se primeiro transpusermos
e depois multiplicarmos por
, temos:
Aqui, primeiro obtemos a transposta de
Agora, vamos ver se essas duas operações resultam na mesma coisa. Seja
uma matriz qualquer com elementos
. Então:
E
Vemos que, para cada elemento correspondente, os dois resultados são iguais.
Resposta
A afirmação é verdadeira, já que
é igual a
. Ou seja, transpor uma matriz multiplicada por
resulta na transposta da matriz multiplicada por
.