(ii) Para o valor de obtido em (i), o sistema tem solução única? Infinitas soluções? Não possui solução? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, bora resolver essa questão juntos! A gente tem uma matriz e um sistema de equações lineares:
A pergunta é: para o valor de que encontramos na parte (i), esse sistema tem solução única? Infinitas soluções? Ou não tem solução? Vamos descobrir!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quando um sistema de duas equações com duas incógnitas tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Isso está relacionado ao determinante da matriz dos coeficientes do sistema.
O determinante de uma matriz é dado por:
Se o determinante for diferente de zero (), o sistema tem solução única. Se for igual a zero (), o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo das equações.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz :
Agora, vamos analisar os casos:
Determinante diferente de zero ():
implica .
Nesse caso, o sistema tem solução única.
Determinante igual a zero ():
Resolvendo: ⇒ .
Agora, precisamos verificar se as equações são proporcionais ou incompatíveis:
Se as equações forem proporcionais, temos infinitas soluções.
Se forem incompatíveis, não há solução.
Vamos verificar para :
Primeira equação:
Segunda equação:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Comparando com a segunda equação original:
Vemos que não pode ser igual a 3 e a 2 ao mesmo tempo. Isso significa que as equações são incompatíveis.
Resposta
Para , o determinante da matriz é zero, e as equações são incompatíveis. Portanto, o sistema não possui solução.