Encontre o ponto de inflexão da função.
Encontre o ponto de inflexão da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a derivada da função
, que é
. A pergunta é: Como encontrar o ponto de inflexão dessa função? Pra isso, vamos precisar entender sobre derivadas e, mais especificamente, sobre a segunda derivada, que nos ajuda a identificar onde a concavidade da função muda.
Passo 2
Primeiro, para achar o ponto de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada da função
. A segunda derivada,
, nos diz como a taxa de variação da inclinação está mudando. Vamos derivar
:
Passo 3
Agora, para encontrar o ponto de inflexão, precisamos descobrir onde a segunda derivada é igual a zero, já que isso indica uma possível mudança na concavidade da função. Então, vamos resolver a equação:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Então, o valor de
onde a segunda derivada é zero é
.
Passo 5
Para confirmar que
realmente é um ponto de inflexão, precisamos verificar se a concavidade muda de um lado para o outro desse ponto. Isso significa que a segunda derivada deve mudar de positiva para negativa ou vice-versa quando passamos por
.
Vamos testar valores próximos a
:
-
Para
: -
Para
:
Como a segunda derivada muda de negativa para positiva passando por
, isso confirma que há uma mudança na concavidade, ou seja, um ponto de inflexão.
Passo 6
Finalmente, para especificar o ponto de inflexão, precisamos encontrar a coordenada
correspondente a
na função original
. Para isso, precisamos integrar a primeira derivada para obter
:
Onde
é a constante de integração. Como o exercício não fornece valores adicionais, vamos considerar
para simplificar:
Resposta
O ponto de inflexão da função é
.