C'(x) = 3x^2 - 12x + 13
Encontre o ponto de inflexão da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a derivada da função , que é . A pergunta é: Como encontrar o ponto de inflexão dessa função? Pra isso, vamos precisar entender sobre derivadas e, mais especificamente, sobre a segunda derivada, que nos ajuda a identificar onde a concavidade da função muda.

Passo 2

Primeiro, para achar o ponto de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada da função . A segunda derivada, , nos diz como a taxa de variação da inclinação está mudando. Vamos derivar :

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto de inflexão, precisamos descobrir onde a segunda derivada é igual a zero, já que isso indica uma possível mudança na concavidade da função. Então, vamos resolver a equação:

Passo 4

Resolvendo a equação:
Então, o valor de onde a segunda derivada é zero é .

Passo 5

Para confirmar que realmente é um ponto de inflexão, precisamos verificar se a concavidade muda de um lado para o outro desse ponto. Isso significa que a segunda derivada deve mudar de positiva para negativa ou vice-versa quando passamos por .
Vamos testar valores próximos a :
  • Para :
  • Para :
Como a segunda derivada muda de negativa para positiva passando por , isso confirma que há uma mudança na concavidade, ou seja, um ponto de inflexão.

Passo 6

Finalmente, para especificar o ponto de inflexão, precisamos encontrar a coordenada correspondente a na função original . Para isso, precisamos integrar a primeira derivada para obter :
Onde é a constante de integração. Como o exercício não fornece valores adicionais, vamos considerar para simplificar:

Resposta

O ponto de inflexão da função é .

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