Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolver. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 2 da expressão
. Para isso, vamos utilizar o conceito de limites e a técnica de fatoração de polinômios para simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.
Passo 2
Vamos começar substituindo
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Encontramos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para calcular o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Numerador (
):
Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Além disso, podemos fatorar
novamente:
Portanto:
Denominador (
):
Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Passo 4
Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
Podemos observar que o fator
está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo (desde que
, o que é válido para o limite):
Passo 5
Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo
:
Substituindo esses valores na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a
.