lim x 2 x^4-16x^3-8

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolver. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 2 da expressão . Para isso, vamos utilizar o conceito de limites e a técnica de fatoração de polinômios para simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Vamos começar substituindo 2^4 - 162^3 - 8 = 16 - 168 - 8 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para calcular o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Numerador ( x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) ):
Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Além disso, podemos fatorar x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) novamente:
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Portanto:
Denominador ( ):
Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
x^4 - 16x^3 - 8 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Podemos observar que o fator (x + 2)(x^2 + 4)x^2 + 2x + 4 está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo (desde que , o que é válido para o limite):

Passo 5

Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo x + 2 = 2 + 2 = 4 :
x^2 + 4 = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8
x^2 + 2x + 4 = 2^2 + 2 times 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
4 times 812 = 3212 = 83
Substituindo esses valores na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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