lim x -2 x^3+8x^5+32

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o limite quando se aproxima de para a expressão . Vamos usar conhecimentos de limites e fatoração de polinômios para resolver isso. Precisaremos identificar se a expressão tem uma forma indeterminada e, se sim, fatorar os polinômios para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos (-2)^3 + 8(-2)^5 + 32 = -8 + 8-32 + 32 = 00 diretamente na expressão:
Essa forma é uma indeterminação, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Numerador: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Isso é uma soma de cubos, que pode ser fatorada usando a fórmula:
x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
Aqui, x^5 + 32 = (x + 2)(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16) e :
Denominador:
Isso é uma soma de quintos, e podemos fatorar da seguinte forma:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
x^3 + 8x^5 + 32 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x + 2)(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16)
Podemos cancelar o fator comum x^2 - 2x + 4x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16 no numerador e denominador:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir (-2)^2 - 2(-2) + 4(-2)^4 - 2(-2)^3 + 4(-2)^2 - 8(-2) + 16 :
(-2)^2 = 4 -2(-2) = 4 4 + 4 + 4 = 12
Calculando passo a passo:
Numerador:
(-2)^4 = 16 -2(-2)^3 = -2(-8) = 16 4(-2)^2 = 4(4) = 16 -8(-2) = 16 16 + 16 + 16 + 16 = 64
Denominador:

Resposta

lim x -2 x^3+8x^5+32 = 1264 = 316

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