Resolva a equação z^4-(1+2 i) z^2-1+i=0 em C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação onde é um número complexo. Isso faz parte da matéria de Números Complexos e Equações Polinomiais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar uma substituição para simplificar a equação e depois resolver uma equação quadrática. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar w^2 - (1 + 2i)w - 1 + i = 0 . Assim, nossa equação original fica:
Agora, temos uma equação quadrática em termos de , que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática w = (1 + 2i) pm raiz(1 + 2i)^2 + 4(1 - i)2 usando a fórmula de Bhaskara:
Vamos calcular o discriminante primeiro.

Passo 4

Calculando o discriminante De:
De
De
Como De:
De

Passo 5

Agora que temos w = 1 + 2i pm raiz12 , voltamos à fórmula de Bhaskara:
w = 1 + 2i pm 12
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 6

Agora que temos z^2 = 1 + i , vamos resolver para |1 + i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 em cada caso.
Para theta = arctan(11) = pi4 :
z = raizraiz2 [ cos(pi8) + i sin(pi8) ]
Para resolver isso, escrevemos z = raizraiz2 [ cos(pi8 + pi) + i sin(pi8 + pi) ] na forma z^2 = i e resolvemos, ou usamos a forma polar. Vamos usar a forma polar.
Primeiro, calculamos o módulo e o argumento de |i| = 1 :
theta = pi2
z = raiz1 [ cos(pi4) + i sin(pi4) ]
Então:
z = raiz1 [ cos(pi4 + pi) + i sin(pi4 + pi) ]
E a outra raiz será:
Para :
Da mesma forma, em forma polar:
Então:
E a outra raiz será:

Passo 7

Simplificando as expressões, temos as quatro soluções para :

Resposta

As soluções da equação z = raiz[4]2 ( cospi8 + i sinpi8 ), z = raiz[4]2 ( cos9pi8 + i sin9pi8 ), z = cospi4 + i sinpi4, z = cos5pi4 + i sin5pi4 em são:

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