Resolva a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
onde
é um número complexo. Isso faz parte da matéria de Números Complexos e Equações Polinomiais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar uma substituição para simplificar a equação e depois resolver uma equação quadrática. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar
. Assim, nossa equação original fica:
Agora, temos uma equação quadrática em termos de
, que é mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Vamos calcular o discriminante primeiro.
Passo 4
Calculando o discriminante
:
Como
:
Passo 5
Agora que temos
, voltamos à fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 6
Agora que temos
, vamos resolver para
em cada caso.
Para
:
Para resolver isso, escrevemos
na forma
e resolvemos, ou usamos a forma polar. Vamos usar a forma polar.
Primeiro, calculamos o módulo e o argumento de
:
Então:
E a outra raiz será:
Para
:
Da mesma forma, em forma polar:
Então:
E a outra raiz será:
Passo 7
Simplificando as expressões, temos as quatro soluções para
:
Resposta
As soluções da equação
em
são: