Integre a equação de h(t), sabendo que em t = 0, h = H.
d h/d t = -k h^(n-1)
Construa em gráfico de h(t) quando n = 1,4, k = 0.9 e H = 10 m. O tempo é dado em segundos.
Resp.:
h(t) = [(n-2) k t + H^(2-n)]^(1/(2-n))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a altura muda com o tempo. O enunciado diz que, quando , a altura é igual a . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente, integração de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais e entender um pouquinho sobre como resolver equações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Nossa missão é encontrar , que é a altura em função do tempo. Para isso, vamos separar as variáveis e na equação para integrar.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para separar e :
Aqui, estamos dividindo ambos os lados por para isolar de um lado e do outro.

Passo 4

Agora, vamos integrar os dois lados:
A gente precisa encontrar as integrais de cada lado. Vamos resolver a integral do lado esquerdo primeiro.

Passo 5

A integral do lado esquerdo fica assim:
Para integrar , usamos a regra da potência:
Aqui, , então:

Passo 6

A integral do lado direito é mais simples:
Agora, juntando as duas integrais, temos:

Passo 7

Vamos resolver para . Primeiro, isolamos :
Onde é uma constante combinada.

Passo 8

Determinar a constante usando a condição inicial :
Então, a equação fica:
Simplificando:

Passo 9

Agora, resolvemos para :
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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