Utilize o algoritmo de Briot-Ruffini para decrever
como um produto de fatores lineares e ou quadráticos em
] d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o algoritmo de Briot-Ruffini para decompor o polinômio
em um produto de fatores lineares e/ou quadráticos no conjunto dos números reais
. Para isso, vamos precisar identificar possíveis raízes do polinômio e então fatorá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar raízes racionais do polinômio usando o Teorema das Raízes Racionais. Segundo esse teorema, se
é uma raiz racional de
, então
divide o termo independente e
divide o coeficiente líder.
No nosso polinômio
, o termo independente é 2 e o coeficiente líder é 1. Então, as possíveis raízes racionais são
.
Passo 3
Vamos testar essas possíveis raízes usando o Método de Briot-Ruffini:
-
Para
: Não é raiz. -
Para
: Não é raiz. -
Para
: Não é raiz. -
Para
: Não é raiz.
Como nenhuma dessas possíveis raízes racionais funciona, concluímos que o polinômio não tem raízes racionais.
Passo 4
Mesmo sem raízes racionais, todo polinômio de grau 3 pelo menos tem uma raiz real. Vamos então fatorar o polinômio em um fator linear e um fator quadrático.
Então, podemos escrever:
onde
é a raiz real do polinômio, e
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Resposta
O polinômio pode ser decomposto como:
onde
é uma raiz real de
, e
e
são coeficientes reais.
Exercícios relacionados
c) Prove que
é um ideal de
.
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
Integre a equação de
, sabendo que em
.
Construa em gráfico de
quando
,
. O tempo é dado em segundos.
Resp.:
Resp.:
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. e) ( ) Seja A um anel arbitrário. Se
tal que
então
possui no máximo n raízes em A contando suas multiplicidades .