Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está no conteúdo de Séries de Potências, mais especificamente utilizando a expansão em série de Taylor da função cosseno. Para resolver, vamos precisar conhecer a série de Taylor da
e como aplicá-la para simplificar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expansão em série de Taylor da função cosseno. A série de Taylor para
em torno de 0 é:
Isso significa que podemos aproximar o cosseno de
por essa infinidade de termos.
Passo 3
Agora, substituímos essa série na expressão do limite:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
tende a 0. Os termos de ordem superior em
(como
,
, etc.) vão se tornando insignificantes, ou seja, tendem a zero muito rápido comparados com os termos de menor ordem.
Passo 5
Portanto, ao calcular o limite, podemos considerar apenas o primeiro termo da série simplificada:
Resposta
O limite
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar
e especifique o raio de convergência
(2,0 pts) Calcule o fluxo do campo vetorial
através da esfera
(orientada com campo normal para fora).
Calcule a integral:
©
Calcule a integral de linha
do campo vetorial
sobre a fronteira
do quadrado
com vértices
e
. Assuma que
esteja orientada positivamente.