Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites: lim x 0 1-cos xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está no conteúdo de Séries de Potências, mais especificamente utilizando a expansão em série de Taylor da função cosseno. Para resolver, vamos precisar conhecer a série de Taylor da e como aplicá-la para simplificar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expansão em série de Taylor da função cosseno. A série de Taylor para cos x = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + dots em torno de 0 é:
Isso significa que podemos aproximar o cosseno de por essa infinidade de termos.

Passo 3

Agora, substituímos essa série na expressão do limite:
1 - cos xx = 1 - (1 - x^22! + x^44! - dots )x
Simplificando o numerador:
1 - 1 + x^22! - x^44! + dots = x^22! - x^44! + dots
Então, a expressão fica:
x^22! - x^44! + dotsx = x2! - x^34! + dots

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando tende a 0. Os termos de ordem superior em (como , , etc.) vão se tornando insignificantes, ou seja, tendem a zero muito rápido comparados com os termos de menor ordem.

Passo 5

Portanto, ao calcular o limite, podemos considerar apenas o primeiro termo da série simplificada:
lim x 0 ( x2 - x^324 + dots ) = lim x 0 x2 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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