Calcule a integral: integral1^3 integral0^1(1+4 x y) d x d y B cdot 10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla: . Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a de 0 a 1, e depois em relação a de 1 a 3. Para resolver isso, precisamos entender como funcionam integrais duplas e como integrar funções em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral0^1 (1 + 4xy) , dx = [ x + 2y x^2 ]0^1 em relação a de 0 a 1, mantendo como uma constante. A integral de em relação a é simplesmente , e a integral de em relação a é ou . Então, a integral interna fica assim:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, ou seja, substituir [ 1 + 2y (1)^2 ] - [ 0 + 2y (0)^2 ] = 1 + 2y e :
Portanto, a integral interna simplificou para .

Passo 4

Agora, precisamos integrar o resultado integral1^3 (1 + 2y) , dy = [ y + y^2 ]1^3 em relação a de 1 a 3. A integral de em relação a �� , e a integral de em relação a é . Então, temos:

Passo 5

Vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, substituindo [ 3 + (3)^2 ] - [ 1 + (1)^2 ] = (3 + 9) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10 e :

Resposta

A integral dupla é igual a 10.

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