c) Quantos inteiros entre 1000 e 9999 (inclusive) existem com todos os dígitos distintos? Desses quantos são ímpares? Desses quantos são pares?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber:
- Quantos números inteiros existem entre 1000 e 9999, ou seja, todos os números de quatro dígitos.
- Desses números, quantos têm todos os dígitos distintos.
- Desses com dígitos distintos, quantos são ímpares? E quantos são pares?
Para resolver isso, vamos usar permutação, que é uma técnica de Análise Combinatória para contar arranjos onde a ordem importa e os elementos não se repetem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quantos números inteiros existem entre 1000 e 9999. Esses são todos os números de quatro dígitos.
O menor número de quatro dígitos é 1000 e o maior é 9999. Para encontrar a quantidade, podemos fazer:
Então, existem 9000 números de quatro dígitos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar quantos desses números têm todos os dígitos distintos.
Para que um número de quatro dígitos tenha todos os dígitos distintos:
- O primeiro dígito (milhar) pode ser de 1 a 9 (não pode ser 0), então temos 9 opções.
- O segundo dígito (centena) pode ser qualquer um dos 10 dígitos (0 a 9) menos o que já foi usado no milhar, então 9 opções.
- O terceiro dígito (dezena) pode ser qualquer um dos 10 dígitos menos os dois já usados, então 8 opções.
- O quarto dígito (unidade) pode ser qualquer um dos 10 dígitos menos os três já usados, então 7 opções.
Multiplicando as opções:
Portanto, existem 4536 números de quatro dígitos com todos os dígitos distintos.
Passo 4
Agora, vamos descobrir quantos desses números distintos são ímpares.
Um número é ímpar se o último dígito (unidade) for ímpar. Os dígitos ímpares disponíveis são: 1, 3, 5, 7, 9. Então, temos 5 opções para o último dígito.
Vamos calcular:
- Último dígito (unidade): 5 opções (1, 3, 5, 7, 9).
- Primeiro dígito (milhar): Pode ser de 1 a 9, mas não pode ser o dígito escolhido para a unidade. Então, 8 opções.
- Segundo dígito (centena): Pode ser qualquer dígito de 0 a 9, exceto os dois já usados. Então, 8 opções.
- Terceiro dígito (dezena): Pode ser qualquer dígito de 0 a 9, exceto os três já usados. Então, 7 opções.
Multiplicando:
Então, existem 2240 números ímpares de quatro dígitos com todos os dígitos distintos.
Passo 5
Por fim, vamos calcular quantos desses números distintos são pares.
Um número é par se o último dígito (unidade) for par. Os dígitos pares disponíveis são: 0, 2, 4, 6, 8. Então, temos 5 opções para o último dígito.
Vamos calcular:
- Último dígito (unidade): 5 opções (0, 2, 4, 6, 8).
- Primeiro dígito (milhar): Pode ser de 1 a 9. Se o último dígito for 0, temos 9 opções. Se for outro par, temos 8 opções (não pode ser o mesmo que a unidade). Mas, para simplificar, vamos considerar que temos em média 8,8 opções, mas para precisão, vamos tratar o 0 separadamente.
Vamos separar em dois casos:
-
Último dígito é 0:
- Unidade: 1 opção (0).
- Milhar: 9 opções (1 a 9).
- Centena: 8 opções (exceto milhar e 0).
- Dezena: 7 opções.
Total: -
Último dígito é 2, 4, 6 ou 8:
- Unidade: 4 opções.
- Milhar: 8 opções (não pode ser o dígito da unidade).
- Centena: 8 opções.
- Dezena: 7 opções.
Total:
Somando os dois casos:
Portanto, existem 2296 números pares de quatro dígitos com todos os dígitos distintos.
Resposta
- Total de números com todos os dígitos distintos: 4536
- Desses, números ímpares: 2240
- Desses, números pares: 2296
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