Um trem do metro é composto de 32 carros é embarcado por 25 passageiros, cada um entrando em um dos carros completamente ao acaso. Qual é a probabilidade de todos os passageiros entrarem carros diferentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. Um trem de metrô tem 32 carros e 25 passageiros entram, cada um escolhendo um carro de forma totalmente aleatória. Queremos descobrir qual é a chance de todos os passageiros escolherem carros diferentes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de contagem e probabilidade, especialmente o cálculo de permutações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o total de maneiras que os 25 passageiros podem escolher os carros. Cada um tem 32 opções, então no total temos possibilidades diferentes de distribuição dos passageiros nos carros.

Passo 3

Agora, vamos calcular as maneiras em que todos os 25 passageiros escolhem carros diferentes. Para o primeiro passageiro, há 32 opções, para o segundo, como já foi escolhido um carro, restam 31 opções, para o terceiro, 30 opções, e assim por diante, até o 25º passageiro, que terá opções. Isso é o que chamamos de permutação de 32 elementos tomados 25 a 25, representado por .

Passo 4

A fórmula para permutação é:
Onde e . Então:

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade de todos os passageiros escolherem carros diferentes, dividimos o número de maneiras favoráveis pelo total de possibilidades:

Passo 6

Esse cálculo nos dá a probabilidade exata. Para uma resposta numérica aproximada, precisaríamos calcular os valores fatoriais e a potência, o que geralmente é feito com uma calculadora científica ou software especializado.

Resposta

A probabilidade de todos os 25 passageiros escolherem carros diferentes é , que é aproximadamente igual a 0,184 ou 18,4 %.

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