Em uma caixa há 100 bolas enumeradas de 1 a 100. Cinco bolas são escolhidas ao acaso. Qual a probabilidade de que os números correspondentes as cinco bolas escolhidas sejam consecutivos?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma caixa com 100 bolas, numeradas de 1 a 100. Queremos saber qual é a probabilidade de, ao escolhermos 5 bolas aleatoriamente, todas elas terem números consecutivos. Vamos trabalhar com conceitos de probabilidade e combinações para resolver esse exercício.
Passo 2
Para calcular a probabilidade, precisamos saber duas coisas principais:
- Número total de maneiras de escolher 5 bolas: Isso nos dá o total de resultados possíveis.
- Número de maneiras favoráveis: Estas são as maneiras em que as 5 bolas escolhidas são consecutivas.
Passo 3
Vamos calcular o número total de maneiras de escolher 5 bolas dentre 100. Isso é dado pela combinação de 100 elementos tomados 5 a 5, representada por:
Onde “!” representa o fatorial de um número.
Passo 4
Agora, vamos calcular o número de maneiras favoráveis, ou seja, quantas sequências de 5 números consecutivos existem entre 1 e 100. A primeira sequência possível começa em 1 e vai até 5, a segunda começa em 2 e vai até 6, e assim por diante, até que a última sequência comece em 96 e termine em 100. Portanto, há:
Passo 5
Com esses valores, podemos agora calcular a probabilidade desejada. A fórmula da probabilidade é:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 6
Vamos calcular o valor de
:
Portanto:
Resposta
A probabilidade de que as cinco bolas escolhidas sejam consecutivas é aproximadamente
.
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