c) R3=(x, y) in A times B mid y=1 subset A times B
oéśung ว varepsilonU ว I=varepsilon u uI ^prime V=varepsilonu uO éś

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui! O exercício apresenta uma relação R3 = (x, y) in A times B mid y = 1 subset A times B definida como:
Isso faz parte da matéria de Teoria das Relações, que estuda como elementos de um conjunto se relacionam com elementos de outro conjunto. Para resolvermos esse exercício, vamos precisar entender o que é uma relação, o produto cartesiano de conjuntos e como interpretar essa relação específica .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto cartesiano A times B = (x, y) mid x in A e y in B . Ele é o conjunto de todos os pares ordenados onde pertence ao conjunto e pertence ao conjunto . Ou seja:
Isso significa que todos os possíveis pares formados pelos elementos de e estão em .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a relação R3 = (x, y) in A times B mid y = 1 . Ela é definida como:
Isso quer dizer que é o conjunto de todos os pares do produto cartesiano onde o segundo elemento do par, , é igual a 1.

Passo 4

Para entender melhor, vamos supor que os conjuntos A = a, b, c e B = 1, 2, 3 e A times B = (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3) são definidores. Por exemplo, seja:
R3 = (a,1), (b,1), (c,1)
Então, o produto cartesiano seria:
Agora, aplicando a condição , selecionamos apenas os pares onde o segundo elemento é 1:

Passo 5

Então, o que isso representa? é uma relação que associa cada elemento de com o número 1 do conjunto . Todos os pares nessa relação têm o segundo componente fixo em 1, independente do primeiro elemento de .

Passo 6

Vamos falar sobre propriedades dessa relação. Uma pergunta comum é: Será que é uma função? Uma função é uma relação onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a apenas um elemento do segundo conjunto.
No nosso caso, cada em está associado exatamente a . Isso satisfaz a condição de função, já que cada tem uma única imagem .

Passo 7

Outra propriedade interessante é a injetividade e sobrejetividade:
  • Injetiva: Cada elemento de é mapeado para um elemento único em , o que no nosso caso é verdade.
  • Sobrejetiva: Todos os elementos de são atingidos pela relação. Aqui, só o elemento 1 de está na relação, então não é sobrejetiva a menos que .

Passo 8

Por fim, vamos considerar exemplos práticos. Imagine que representa pessoas e representa idades. A relação associa todas as pessoas da lista com a idade 1. Isso seria uma relação válida, mas não muito útil, já que todas têm a mesma idade!

Resposta

A relação consiste em todos os pares onde pertence ao conjunto e é igual a 1 no conjunto . Essa relação é uma função onde cada elemento de está associado ao número 1 de .

Exercícios relacionados

b) h(x) = b(a(x))
z - |9 + x| = x * y
lim x 0((|x-1|-|x+1|)x)
Considere as seguintes funções abaixo:
a) a(x) = x + 3
d) d(x) = 3^(x-1) - 1
b) b(x) = |x + 3| - 2
e) f(x) = log2(x+1) + 2
c) c(x) = (x + 1)^(2) - 4
g(x)=1/(x+2)-1
  1. Determine o valor das funções para x = 0 e suas raízes.
  2. Faça um esboço dos gráficos das funções.
  3. Determine quantas e quais são as soluções, caso existam, das equações indicadas.
  4. Encontre o conjunto solução (intervalo(s)) das desigualdades indicadas.
a) g(x) = a(b(x))
I + |ε + x| = x E