c)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui! O exercício apresenta uma relação
definida como:
Isso faz parte da matéria de Teoria das Relações, que estuda como elementos de um conjunto se relacionam com elementos de outro conjunto. Para resolvermos esse exercício, vamos precisar entender o que é uma relação, o produto cartesiano de conjuntos e como interpretar essa relação específica
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto cartesiano
. Ele é o conjunto de todos os pares ordenados
onde
pertence ao conjunto
e
pertence ao conjunto
. Ou seja:
Isso significa que todos os possíveis pares formados pelos elementos de
e
estão em
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a relação
. Ela é definida como:
Isso quer dizer que
é o conjunto de todos os pares
do produto cartesiano
onde o segundo elemento do par,
, é igual a 1.
Passo 4
Para entender melhor, vamos supor que os conjuntos
e
são definidores. Por exemplo, seja:
Então, o produto cartesiano
seria:
Agora, aplicando a condição
, selecionamos apenas os pares onde o segundo elemento é 1:
Passo 5
Então, o que isso representa?
é uma relação que associa cada elemento de
com o número 1 do conjunto
. Todos os pares nessa relação têm o segundo componente fixo em 1, independente do primeiro elemento de
.
Passo 6
Vamos falar sobre propriedades dessa relação. Uma pergunta comum é: Será que
é uma função? Uma função é uma relação onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a apenas um elemento do segundo conjunto.
No nosso caso, cada
em
está associado exatamente a
. Isso satisfaz a condição de função, já que cada
tem uma única imagem
.
Passo 7
Outra propriedade interessante é a injetividade e sobrejetividade:
- Injetiva: Cada elemento de
é mapeado para um elemento único em , o que no nosso caso é verdade. - Sobrejetiva: Todos os elementos de
são atingidos pela relação. Aqui, só o elemento 1 de está na relação, então não é sobrejetiva a menos que .
Passo 8
Por fim, vamos considerar exemplos práticos. Imagine que
representa pessoas e
representa idades. A relação
associa todas as pessoas da lista com a idade 1. Isso seria uma relação válida, mas não muito útil, já que todas têm a mesma idade!
Resposta
A relação
consiste em todos os pares
onde
pertence ao conjunto
e
é igual a 1 no conjunto
. Essa relação é uma função onde cada elemento de
está associado ao número 1 de
.
Exercícios relacionados
b)
Considere as seguintes funções abaixo:
a)
d)
b)
e)
c)
a)
d)
b)
e)
c)
- Determine o valor das funções para
e suas raízes. - Faça um esboço dos gráficos das funções.
- Determine quantas e quais são as soluções, caso existam, das equações indicadas.
- Encontre o conjunto solução (intervalo(s)) das desigualdades indicadas.
a)