Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular o limite:
Matéria envolvida: Neste exercício, vamos aplicar conceitos de limites e propriedades de valor absoluto. Precisamos lembrar como funciona o valor absoluto e como calcular limites que envolvem funções com valor absoluto.
Passo 2
Vamos analisar as expressões dentro dos valores absolutos:
Como
está se aproximando de 0, ambos
e
estarão próximos de -1 e +1, respectivamente.
Propriedade do valor absoluto: Para qualquer número real
, temos:
Passo 3
Vamos simplificar
e
:
-
Para
: - Quando
está próximo de 0, é negativo (aproximadamente -1). - Então,
.
- Quando
-
Para
: - Quando
está próximo de 0, é positivo (aproximadamente +1). - Então,
.
- Quando
Passo 4
Substituindo as simplificações no limite:
Vamos simplificar o numerador:
Então, o limite fica:
Passo 5
Simplificando a fração:
Observação: Aqui, cancelamos o
no numerador e no denominador, já que
(estamos considerando o limite).
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Considere a região
. Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
.
Mostre que
, para todo
.
Sugestão: considere a função .
Sugestão: considere a função
b)
c)