c) é a região do primeiro quadrante, limitada pela curva pelo eixo e pela reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área na região do primeiro quadrante limitada pela curva , pelo eixo e pela reta . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre como calcular áreas sob curvas usando integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a área que queremos calcular está entre o eixo , a curva e a reta vertical . No primeiro quadrante, varia de 0 a 2. Para encontrar essa área, vamos integrar a função em relação a nesse intervalo.

Passo 3

A fórmula para a área é:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para isso, vamos usar a substituição . Então, a derivada de em relação a é , o que significa que .

Passo 4

Substituindo na integral:
Agora, resolvemos a integral de :

Passo 5

Agora, avaliamos nos limites de integração:

Resposta

A área é igual a:

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d)
j) é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .
i) A é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .
а)