j)
é a região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a região
limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas verticais
e
. Isso envolve cálculo de área usando integrais. Vamos precisar saber como integrar funções e entender os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que queremos calcular. A curva
é simétrica em relação ao eixo
porque, ao substituir
por
, a expressão para
permanece a mesma. Isso significa que a área de
a
será igual à área de
a
. Portanto, podemos calcular a área de
a
e depois multiplicar por 2 para obter a área total.
Passo 3
A próxima coisa é configurar a integral que nos dará a área. A fórmula para a área sob uma curva entre
e
é:
Aqui,
,
e
. Então, a integral para metade da área é:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. Para isso, usamos a substituição u-substituição. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
Calculando os novos limites de integração:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 7
Substituindo os limites de integração:
Passo 8
Calculando o valor numérico:
Então:
Lembrando que essa é apenas metade da área total.
Resposta
A área total
da região é aproximadamente
unidades de área.
Exercícios relacionados
g)
é a região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas
e
.
d)
é a região limitada pela curva
pelo eixo
e pelas retas
e
.
d)
c)
é a região do primeiro quadrante, limitada pela curva
pelo eixo
e pela reta
.