j) é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas verticais e . Isso envolve cálculo de área usando integrais. Vamos precisar saber como integrar funções e entender os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que queremos calcular. A curva é simétrica em relação ao eixo porque, ao substituir por , a expressão para permanece a mesma. Isso significa que a área de a será igual à área de a . Portanto, podemos calcular a área de a e depois multiplicar por 2 para obter a área total.

Passo 3

A próxima coisa é configurar a integral que nos dará a área. A fórmula para a área sob uma curva entre e é:
Aqui, , e . Então, a integral para metade da área é:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Para isso, usamos a substituição u-substituição. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 5

Substituindo e na integral, temos:
Calculando os novos limites de integração:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar :
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 7

Substituindo os limites de integração:

Passo 8

Calculando o valor numérico:
Então:
Lembrando que essa é apenas metade da área total.

Resposta

A área total da região é aproximadamente unidades de área.

Exercícios relacionados

g) é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .
d) é a região limitada pela curva pelo eixo e pelas retas e .
d)
c) é a região do primeiro quadrante, limitada pela curva pelo eixo e pela reta .