© O que é uma região do tipo II? Como calcular
se
for uma região do tipo II?
Passo 1
Então, vamos lá! A pergunta é sobre o que é uma região do tipo II e como calcular a integral dupla
quando a região
é desse tipo. Isso está dentro do assunto de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e como definir as regiões de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar uma região do tipo II e como configurar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, uma região do tipo II é aquela onde, para cada valor de
,
varia entre duas funções que dependem de
. Ou seja, a região é descrita por
variando de
a
, enquanto
varia de uma constante
a outra
. Visualmente, imagine que a região está “empilhada” na direção horizontal.
Passo 3
Para calcular a integral dupla
sobre uma região do tipo II, seguimos esses passos:
- Identificar os limites de
: Determinamos os valores mínimo ( ) e máximo ( ) que atinge na região . - Identificar os limites de
para cada : Para cada valor fixo de , encontramos as funções e que definem os limites inferiores e superiores para . - Configurar a integral dupla: A integral será escrita primeiro em relação a
, de a , e depois em relação a , de a . - Integrar: Calculamos a integral interna em relação a
e depois a externa em relação a .
Passo 4
Vamos detalhar a configuração da integral. A integral dupla fica assim:
Aqui,
integra a função
em
para um
fixo, e depois
integra o resultado em
.
Passo 5
Vamos resumir com um exemplo simples. Imagine que
é a região onde
vai de 0 a 2, e para cada
,
vai de
a
. Aqui,
,
,
e
. A integral dupla seria:
Isso facilita a integração, já que definimos claramente os limites para cada variável.
Resposta
Uma região do tipo II é aquela onde, para cada valor de
,
varia entre duas funções que dependem de
. Para calcular a integral dupla
sobre uma região
do tipo II, configuramos a integral primeiro em relação a
com limites de
a
, e depois em relação a
de
a
. A integral fica: