© O que é uma região do tipo II? Como calcular integral duplaD f(x, y) d A se D for uma região do tipo II?

Passo 1

Então, vamos lá! A pergunta é sobre o que é uma região do tipo II e como calcular a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dA quando a região D é desse tipo. Isso está dentro do assunto de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e como definir as regiões de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar uma região do tipo II e como configurar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, uma região do tipo II é aquela onde, para cada valor de y, x varia entre duas funções que dependem de y. Ou seja, a região é descrita por x variando de h1(y) a h2(y), enquanto y varia de uma constante c a outra d. Visualmente, imagine que a região está “empilhada” na direção horizontal.

Passo 3

Para calcular a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dA sobre uma região do tipo II, seguimos esses passos:
  1. Identificar os limites de y: Determinamos os valores mínimo ( c) e máximo ( d) que y atinge na região D.
  2. Identificar os limites de x para cada y: Para cada valor fixo de y, encontramos as funções h1(y) e h2(y) que definem os limites inferiores e superiores para x.
  3. Configurar a integral dupla: A integral será escrita primeiro em relação a x, de h1(y) a h2(y), e depois em relação a y, de c a d.
  4. Integrar: Calculamos a integral interna em relação a x e depois a externa em relação a y.

Passo 4

Vamos detalhar a configuração da integral. A integral dupla fica assim:
integral duplaD f(x, y) , dA = integralc^d ( integralh1(y)^h2(y) f(x, y) , dx ) dy
Aqui, integralh1(y)^h2(y) f(x, y) , dx integra a função f(x, y) em x para um y fixo, e depois integralc^d () , dy integra o resultado em y.

Passo 5

Vamos resumir com um exemplo simples. Imagine que D é a região onde y vai de 0 a 2, e para cada y, x vai de y a y+1. Aqui, c = 0, d = 2, h1(y) = y e h2(y) = y+1. A integral dupla seria:
integral duplaD f(x, y) , dA = integral0^2 ( integraly^y+1 f(x, y) , dx ) dy
Isso facilita a integração, já que definimos claramente os limites para cada variável.

Resposta

Uma região do tipo II é aquela onde, para cada valor de y, x varia entre duas funções que dependem de y. Para calcular a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dA sobre uma região D do tipo II, configuramos a integral primeiro em relação a x com limites de h1(y) a h2(y), e depois em relação a y de c a d. A integral fica:
integral duplaD f(x, y) , dA = integralc^d ( integralh1(y)^h2(y) f(x, y) , dx ) dy

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