Determine os valores de
para os quais as séries convergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de
reais a série
converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste da razão e o teste da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série pode ser expandida da seguinte maneira:
Isso significa que estamos somando duas séries separadas: uma série geométrica simples
e outra série geométrica com termo
.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série,
. Sabemos que uma série geométrica da forma
converge se e somente se
. No nosso caso,
e
, então a série converge se:
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda série,
. Podemos reescrever essa série como
, que também é uma série geométrica com razão
. Para essa série convergir, precisamos que:
Passo 5
Já que ambas as séries,
e
, convergem quando
, podemos concluir que a soma das duas séries também converge nessa mesma condição.
Resposta
A série
converge para todos os números reais
tais que: