Determine os valores de x in R para os quais as séries convergem. sumn=1^infty x^n(1+x^n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de reais a série converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste da razão e o teste da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série pode ser expandida da seguinte maneira:
sumn=1^infty x^n(1 + x^n) = sumn=1^infty x^n + sumn=1^infty x^2n
Isso significa que estamos somando duas séries separadas: uma série geométrica simples e outra série geométrica com termo .

Passo 3

Vamos analisar a primeira série, |x| < 1 . Sabemos que uma série geométrica da forma converge se e somente se . No nosso caso, e , então a série converge se:

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda série, |x^2| < 1 implies |x| < 1 . Podemos reescrever essa série como , que também é uma série geométrica com razão . Para essa série convergir, precisamos que:

Passo 5

Já que ambas as séries, e , convergem quando , podemos concluir que a soma das duas séries também converge nessa mesma condição.

Resposta

A série |x| < 1 converge para todos os números reais tais que:

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