(e) O que é uma região sólida do tipo 2 ? Como calcular integral triplaE f(x, y, z) d V se E for uma região deste tipo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente entender o que é uma região sólida do tipo 2 e como calcular uma integral tripla integral triplaE f(x, y, z) dV quando E é esse tipo de região. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre integrais triplas e regiões de integração. Para resolver, vamos precisar entender como essas regiões são definidas e como estabelecer os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma região sólida do tipo 2. Em cálculo, as regiões sólidas são classificadas com base em como podemos descrevê-las para facilitar a integração. Uma região do tipo 2 é aquela onde, para cada ponto (x, y, z) na região E, os limites de y e z são funções de x, ou seja:
  • x varia entre dois valores constantes: a <= x <= b.
  • Para cada x, y varia entre duas funções: g1(x) <= y <= g2(x).
  • Para cada x e y, z varia entre duas funções: h1(x, y) <= z <= h2(x, y).

Passo 3

Agora, para calcular a integral tripla integral triplaE f(x, y, z) dV sobre uma região do tipo 2, seguimos os seguintes passos:
  1. Identificar os limites de x: Determinar os valores mínimo e máximo que x pode assumir na região E, ou seja, encontrar a e b.
  2. Determinar os limites de y em função de x: Para cada x, descobrir entre quais valores y varia, ou seja, encontrar g1(x) e g2(x).
  3. Encontrar os limites de z em função de x e y: Para cada par (x, y), identificar os valores que z pode assumir, ou seja, encontrar h1(x, y) e h2(x, y).
  4. Escrever a integral tripla: Organizar a integral com os limites encontrados, geralmente na ordem dz, dy, dx.

Passo 4

Vamos ver um exemplo prático para fixar a ideia. Suponha que queremos calcular a integral tripla de uma função f(x, y, z) sobre uma região E do tipo 2 onde:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada x, y varia de 0 a x.
  • Para cada (x, y), z varia de 0 a y.
Nesse caso, a integral tripla fica:
integral triplaE f(x, y, z) dV = integral0^1 integral0^x integral0^y f(x, y, z) , dz , dy , dx

Resposta

Uma região sólida do tipo 2 é aquela onde x varia entre dois valores fixos, y varia entre funções que dependem de x, e z varia entre funções que dependem de x e y. Para calcular a integral tripla integral triplaE f(x, y, z) dV sobre uma região desse tipo, estabelecemos os limites de integração em x, depois em y em função de x, e finalmente em z em função de x e y. A integral fica organizada na ordem dz, dy, dx com os limites apropriados.

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