(e) O que é uma região sólida do tipo 2 ? Como calcular
se
for uma região deste tipo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente entender o que é uma região sólida do tipo 2 e como calcular uma integral tripla
quando
é esse tipo de região. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre integrais triplas e regiões de integração. Para resolver, vamos precisar entender como essas regiões são definidas e como estabelecer os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma região sólida do tipo 2. Em cálculo, as regiões sólidas são classificadas com base em como podemos descrevê-las para facilitar a integração. Uma região do tipo 2 é aquela onde, para cada ponto
na região
, os limites de
e
são funções de
, ou seja:
-
varia entre dois valores constantes: . - Para cada
, varia entre duas funções: . - Para cada
e , varia entre duas funções: .
Passo 3
Agora, para calcular a integral tripla
sobre uma região do tipo 2, seguimos os seguintes passos:
- Identificar os limites de
: Determinar os valores mínimo e máximo que pode assumir na região , ou seja, encontrar e . - Determinar os limites de
em função de : Para cada , descobrir entre quais valores varia, ou seja, encontrar e . - Encontrar os limites de
em função de e : Para cada par , identificar os valores que pode assumir, ou seja, encontrar e . - Escrever a integral tripla: Organizar a integral com os limites encontrados, geralmente na ordem
.
Passo 4
Vamos ver um exemplo prático para fixar a ideia. Suponha que queremos calcular a integral tripla de uma função
sobre uma região
do tipo 2 onde:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
Nesse caso, a integral tripla fica:
Resposta
Uma região sólida do tipo 2 é aquela onde
varia entre dois valores fixos,
varia entre funções que dependem de
, e
varia entre funções que dependem de
e
. Para calcular a integral tripla
sobre uma região desse tipo, estabelecemos os limites de integração em
, depois em
em função de
, e finalmente em
em função de
e
. A integral fica organizada na ordem
com os limites apropriados.