(d) Como calcular
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para entender como calcular uma integral dupla, representada por
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais de funções de duas variáveis sobre uma região
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher a melhor ordem para integrar (primeiro em
depois em
, ou vice-versa).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa essa integral dupla. A integral
representa o volume sob a superfície
e acima da região
no plano
. Para calcular isso, precisamos:
- Definir a região
: Saber exatamente quais são os limites de e que delimitam . - Escolher a ordem de integração: Decidir se vamos integrar primeiro em relação a
ou a . Isso depende da forma da região e qual ordem facilita os cálculos. - Configurar os limites de integração: Estabelecer as funções que definem os limites internos e externos da integral.
- Integrar passo a passo: Executar as integrações iteradas para encontrar o valor final.
Passo 3
Vamos detalhar cada um desses passos.
1. Definir a região
:
Imagine que é uma área no plano
que pode ser descrita por
e, para cada
,
. Estas funções
e
são os limites inferior e superior de
para cada
.
Imagine que
2. Escolher a ordem de integração:
Dependendo da região , pode ser mais fácil integrar primeiro em
ou em
. Se a região for mais simples de descrever em termos de
variando entre funções de
, integramos primeiro em
, e vice-versa.
Dependendo da região
3. Configurar os limites de integração:
Vamos supor que escolhemos integrar primeiro em . Então, a integral fica:
Vamos supor que escolhemos integrar primeiro em
Aqui,
e
são as funções que definem os limites de
para cada
.
4. Integrar passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a
, mantendo
constante. Depois, integramos o resultado em relação a
.
Primeiro, integramos
Passo 4
Exemplo prático:
Vamos supor que queremos calcular a integral dupla de sobre a região
que é um retângulo definido por
e
.
Vamos supor que queremos calcular a integral dupla de
- Definir
: , . - Escolher a ordem de integração: Vamos integrar primeiro em
, depois em . - Configurar os limites:
- Integrar:
Primeiro, integramosem relação a :
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla
sobre a região
é 15.