(d) Como calcular integral duplaR f(x, y) d A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para entender como calcular uma integral dupla, representada por integral duplaR f(x, y) , dA. Isso faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais de funções de duas variáveis sobre uma região R. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher a melhor ordem para integrar (primeiro em x depois em y, ou vice-versa).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa essa integral dupla. A integral integral duplaR f(x, y) , dA representa o volume sob a superfície f(x, y) e acima da região R no plano xy. Para calcular isso, precisamos:
  1. Definir a região R: Saber exatamente quais são os limites de x e y que delimitam R.
  2. Escolher a ordem de integração: Decidir se vamos integrar primeiro em relação a x ou a y. Isso depende da forma da região R e qual ordem facilita os cálculos.
  3. Configurar os limites de integração: Estabelecer as funções que definem os limites internos e externos da integral.
  4. Integrar passo a passo: Executar as integrações iteradas para encontrar o valor final.

Passo 3

Vamos detalhar cada um desses passos.
1. Definir a região R:
Imagine que R é uma área no plano xy que pode ser descrita por a <= x <= b e, para cada x, c(x) <= y <= d(x). Estas funções c(x) e d(x) são os limites inferior e superior de y para cada x.
2. Escolher a ordem de integração:
Dependendo da região R, pode ser mais fácil integrar primeiro em x ou em y. Se a região for mais simples de descrever em termos de y variando entre funções de x, integramos primeiro em x, e vice-versa.
3. Configurar os limites de integração:
Vamos supor que escolhemos integrar primeiro em x. Então, a integral fica:
integraly = c^y = d ( integralx = a(y)^x = b(y) f(x, y) , dx ) dy
Aqui, a(y) e b(y) são as funções que definem os limites de x para cada y.
4. Integrar passo a passo:
Primeiro, integramos f(x, y) em relação a x, mantendo y constante. Depois, integramos o resultado em relação a y.

Passo 4

Exemplo prático:
Vamos supor que queremos calcular a integral dupla de f(x, y) = x + y sobre a região R que é um retângulo definido por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 3.
  1. Definir R: 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 3.
  2. Escolher a ordem de integração: Vamos integrar primeiro em x, depois em y.
  3. Configurar os limites:
integral0^3 ( integral0^2 (x + y) , dx ) dy
  1. Integrar:
    Primeiro, integramos (x + y) em relação a x:
integral0^2 (x + y) , dx = [x^22 + yx ]0^2 = ( 42 + 2y ) - (0 + 0) = 2 + 2y
Agora, integramos o resultado em relação a y:
integral0^3 (2 + 2y) , dy = [2y + y^2 ]0^3 = (6 + 9) - (0 + 0) = 15

Resposta

O valor da integral dupla integral duplaR (x + y) , dA sobre a região R é 15.

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