(a) Se uma transformação T é dada por x = g(u, v), y = h(u, v), qual é o jacobiano de T ?

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação matemática que transforma as variáveis e em e usando as funções e . O que a gente quer encontrar aqui é o jacobiano dessa transformação. O jacobiano é uma ferramenta que ajuda a entender como as variáveis estão relacionadas e como pequenas mudanças em e afetam e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o jacobiano. Basicamente, ele é o determinante da matriz das derivadas parciais das funções que definem a transformação. Ou seja, a gente monta uma matriz onde cada entrada é a derivada de ou em relação a ou .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .

Passo 4

Com essas derivadas, a gente monta a matriz jacobiana:

Resposta

O jacobiano de é dado por:

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