c) Sejam
e
. Verifique que
e calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
A questão quer que a gente:
- Verifique que a imagem de
( ) está dentro do domínio de ( ). - Calcule a composição das duas funções, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, e como compor funções.
Passo 2
Vamos começar analisando o domínio de
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio de
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem de
, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
varia no domínio.
Como
, temos:
Além disso, conforme
aumenta,
também aumenta sem limites superiores. Portanto:
Passo 4
Em seguida, vamos analisar o domínio de
. Como
é um polinômio, ele está definido para todos os números reais:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a imagem de
está contida no domínio de
:
Como
está contido em
, temos:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a função composta
. Isso significa que vamos substituir
na expressão de
:
Simplificando o termo ao quadrado:
Então:
Resposta
A função composta é
.