c) Sejam f(x) = raiz(2 x) e g(x) = 5 + x^2. Verifique que Im(f) ⊆ Dg e calcule h(x) = g(f(x)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
A questão quer que a gente:
  1. Verifique que a imagem de ( ) está dentro do domínio de ( ).
  2. Calcule a composição das duas funções, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, e como compor funções.

Passo 2

Vamos começar analisando o domínio de . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio de é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem de , que é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia no domínio.
Como , temos:
Além disso, conforme aumenta, também aumenta sem limites superiores. Portanto:

Passo 4

Em seguida, vamos analisar o domínio de . Como é um polinômio, ele está definido para todos os números reais:

Passo 5

Agora, vamos verificar se a imagem de está contida no domínio de :
Como está contido em , temos:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a função composta . Isso significa que vamos substituir na expressão de :
Simplificando o termo ao quadrado:
Então:

Resposta

A função composta é .

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