Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça todas as condições dadas.
-
não está definida.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função
que satisfaz certas condições de limites e valores específicos. Vamos usar conceitos de limites e funções definidas por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, olhamos para os limites quando
se aproxima de 0. Temos que:
-
: Isso significa que, quando se aproxima de 0 vindo da esquerda, os valores de se aproximam de 1. -
: Quando se aproxima de 0 vindo da direita, se aproxima de -1.
Além disso,não está definida, então não colocaremos um ponto em .
Passo 3
Agora, observamos os limites quando
se aproxima de 2:
-
: Vindo da esquerda, se aproxima de 2. -
: Vindo da direita, se aproxima de 1.
Sabemos também que, então definimos o valor de em como 1.
Passo 4
Vamos construir a função
por partes para atender a todas essas condições:
- Para
, precisamos que se aproxime de 1 quando se aproxima de 0. Podemos escolher para . - Para
, deve se aproximar de -1 quando se aproxima de 0 e de 2 quando se aproxima de 2. Podemos definir nesse intervalo. - Para
, deve se aproximar de 1 quando se aproxima de 2. Podemos definir para . - Em
, .
Passo 5
Agora, reunimos todas as partes para definir a função completa:
Assim, essa função atende a todas as condições de limites e valores específicos dados no enunciado.
Resposta
A função que satisfaz todas as condições é: