Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça todas as condições dadas.
  • lim x 0^- f(x)=1, lim x 0^+ f(x)=-1, lim x 2^- f(x)=2, lim x 2^+ f(x)=1, f(2)=1, f(0) não está definida.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função que satisfaz certas condições de limites e valores específicos. Vamos usar conceitos de limites e funções definidas por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, olhamos para os limites quando se aproxima de 0. Temos que:
  • : Isso significa que, quando se aproxima de 0 vindo da esquerda, os valores de se aproximam de 1.
  • : Quando se aproxima de 0 vindo da direita, se aproxima de -1.
    Além disso, não está definida, então não colocaremos um ponto em .

Passo 3

Agora, observamos os limites quando se aproxima de 2:
  • : Vindo da esquerda, se aproxima de 2.
  • : Vindo da direita, se aproxima de 1.
    Sabemos também que , então definimos o valor de em como 1.

Passo 4

Vamos construir a função por partes para atender a todas essas condições:
  • Para , precisamos que se aproxime de 1 quando se aproxima de 0. Podemos escolher para .
  • Para , deve se aproximar de -1 quando se aproxima de 0 e de 2 quando se aproxima de 2. Podemos definir nesse intervalo.
  • Para , deve se aproximar de 1 quando se aproxima de 2. Podemos definir para .
  • Em , .

Passo 5

Agora, reunimos todas as partes para definir a função completa:
f(x) = 1 & se x < 0, x & se 0 < x < 2, 1 & se x >= 2
Assim, essa função atende a todas as condições de limites e valores específicos dados no enunciado.

Resposta

A função que satisfaz todas as condições é:
f(x) = 1 & se x < 0, x & se 0 < x < 2, 1 & se x >= 2

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