Encontre o domínio da função. f(x) = raiz(quarta(x^2 - 6x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função . O domínio é basicamente o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre raízes e inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Aqui, temos uma raiz de quarto grau, que é uma raiz par. Isso significa que o que está dentro da raiz, chamado de radicando ( ), precisa ser maior ou igual a zero para que a função esteja definida nos números reais.

Passo 3

Então, a gente precisa resolver a inequação:
Isso vai nos ajudar a encontrar os valores de que tornam o radicando não negativo.

Passo 4

Vamos resolver a inequação . Primeiro, fatoramos a expressão:
Agora, temos:

Passo 5

Para resolver , vamos encontrar os pontos críticos onde a expressão é igual a zero:
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:

Passo 6

Agora, vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira:
  1. Para :
    • Escolha :
  2. Para :
    • Escolha :
  3. Para :
    • Escolha :

Passo 7

Além disso, nos pontos críticos e , a expressão é igual a zero, o que satisfaz a condição da inequação ( ). Portanto, queremos incluir esses pontos no domínio.

Passo 8

Juntando tudo, os valores de que satisfazem a inequação são:

Resposta

O domínio da função é:

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