Neste exercício, temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas: , e . O objetivo é encontrar os valores dessas funções trigonométricas que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Conteúdo da matéria: Resolução de sistemas lineares utilizando métodos de eliminação.
Para resolver esse sistema, precisaremos aplicar o método da eliminação para reduzir o sistema e encontrar os valores das incógnitas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar a visualização:
sin alpha + 2 cos beta + 3 tan gamma = 0 (Equação 1) 2 sin alpha + 25 cos beta + 3 tan gamma = 0 (Equação 2) -sin alpha - 5 cos beta + 5 tan gamma = 0 (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo agora é eliminar uma das incógnitas para simplificar o sistema. Vamos eliminar utilizando as Equações 1 e 2.
Passo 3
Para eliminar 2 sin alpha + 4 cos beta + 6 tan gamma = 0 (Equação 1 mu, multiplicamos a Equação 1 por 2:
(2 sin alpha + 4 cos beta + 6 tan gamma) - (2 sin alpha + 25 cos beta + 3 tan gamma) = 0 - 0 çã
Agora, subtraímos a Equação 2 da Equação 1 multiplicada por 2:
0 sin alpha - 21 cos beta + 3 tan gamma = 0
Simplificando:
-21 cos beta + 3 tan gamma = 0 (Equação 4)
Ou seja:
çã
Passo 4
Agora, vamos eliminar sin alpha + 2 cos beta + 3 tan gamma + (-sin alpha - 5 cos beta + 5 tan gamma) = 0 + 0 utilizando as Equações 1 e 3. Primeiramente, somamos a Equação 1 com a Equação 3:
-3 cos beta + 8 tan gamma = 0 (Equação 5)
Simplificando:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( -21 cos beta + 3 tan gamma = 0 (Equação 4) -3 cos beta + 8 tan gamma = 0 (Equação 5) e ):
çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 6
Podemos multiplicar a Equação 5 por 7 para facilitar a eliminação:
-21 cos beta + 56 tan gamma = 0 (Equação 5 muçã
Agora, temos:
-21 cos beta + 3 tan gamma = 0 (Equação 4) -21 cos beta + 56 tan gamma = 0 (Equação 5 modificada) çãçã
Subtraindo a Equação 4 da Equação 5 modificada:
( -21 cos beta + 56 tan gamma ) - ( -21 cos beta + 3 tan gamma ) = 0 - 0
Simplificando:
53 tan gamma = 0
Portanto:
tan gamma = 0
Passo 7
Sabemos que -21 cos beta + 3 times 0 = 0 Rightarrow -21 cos beta = 0 Rightarrow cos beta = 0 quando ou , entre outros ângulos múltiplos de . Para simplificar, consideramos .
Agora, substituindo na Equação 4:
Passo 8
Sabemos que sin alpha + 2 times 0 + 3 times 0 = 0 Rightarrow sin alpha = 0 quando ou , entre outros ângulos múltiplos de . Para simplificar, consideramos .
Agora, substituindo e na Equação 1:
Passo 9
Sabemos que quando ou , entre outros ângulos múltiplos de . Para simplificar, consideramos .