\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{4}{z} & =1 \
\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{8}{z} & =0 \
-\frac{1}{x}+\frac{9}{y}+\frac{10}{z} & =5
\end{aligned}\right. . Este sistema é não-linear,
$$
porém podemos resolvê-lo definindo novas variáveis e . Faça essa substituição e encontre a solução do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não-lineares que envolve as variáveis , e . O enunciado sugere que substituamos , e para simplificar o sistema. Assim, trabalharemos com um sistema linear, que é mais fácil de resolver. Vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação, para achar os valores de , e , e depois voltar para , e .
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida no enunciado. Substituindo , e , nosso sistema fica assim:
Agora, temos um sistema linear com as variáveis , e .
Passo 3
Vamos resolver esse sistema usando o método da matriz aumentada. Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma onde possamos facilmente encontrar os valores de , e .
Passo 4
Vamos usar a primeira linha para eliminar o 2 times Linha 1: 2X + 4Y - 8Z = 2 das demais linhas. Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
Linha 2 - 2 times Linha 1: (2X + 3Y + 8Z) - (2X + 4Y - 8Z) = 0 - 2
Rightarrow -Y + 16Z = -2
-1 times Linha 1: -X - 2Y + 4Z = -1
Fazemos o mesmo com a terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por -1 e somamos com a terceira linha:
Linha 3 + (-1) times Linha 1: (-X + 9Y + 10Z) + (-X - 2Y + 4Z) = 5 - 1
Rightarrow 7Y + 14Z = 4
X + 2Y - 4Z = 1 - Y + 16Z = -2 7Y + 14Z = 4
Agora, nosso sistema fica:
Passo 5
Vamos resolver o sistema reduzido de duas equações com - Y + 16Z = -2 7Y + 14Z = 4 e - Y + 16Z = -2 Rightarrow Y = 16Z + 2 :
7(16Z + 2) + 14Z = 4
Primeiro, da primeira equação, isolamos 112Z + 14 + 14Z = 4 :
126Z + 14 = 4
Agora, substituímos 126Z = -10 Rightarrow Z = -10126 = -563 na segunda equação:
Passo 6
Com o valor de Y = 16Z + 2 = 16(-563) + 2 = -8063 + 12663 = 4663 encontrado, voltamos para a expressão de :
Agora temos e .
Passo 7
Finalmente, substituímos os valores de X + 2Y - 4Z = 1 e X + 2(4663) - 4(-563) = 1 na primeira equação do sistema original para encontrar X + 9263 + 2063 = 1 :
X + 11263 = 1
X = 1 - 11263 = 6363 - 11263 = -4963 = -79
Resposta
Os valores encontrados são:
X = -79, Y = 4663, Z = -563
Lembrando que x = -97, y = 6346, z = -635 , e , então invertendo: