Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
(e) O conjunto das funções reais pares.
(e) O conjunto das funções reais pares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto das funções reais pares é um espaço vetorial real, usando a adição e a multiplicação que a gente já conhece. Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar o que define um espaço vetorial e ver se essas funções cumprem todas essas regras.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto onde dá pra adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número real, seguindo certas regras. Essas regras incluem propriedades como a comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso, entre outras.
Passo 3
Agora, vamos focar no conjunto das funções reais pares. Uma função
é par se
pra todo
no domínio. Então, vamos ver se esse conjunto, com a adição e multiplicação usuais de funções, satisfaz as propriedades de um espaço vetorial.
Passo 4
Primeiro, verificamos se a adição de duas funções pares é também uma função par. Se
e
são pares, então:
Ou seja,
também é uma função par.
Passo 5
Depois, verificamos a multiplicação de uma função par por um número real. Se
é par e
é um número real, então:
Logo,
também é uma função par.
Passo 6
Agora, vamos conferir as propriedades do espaço vetorial:
- Comutatividade da adição:
— válido porque a adição de funções é comutativa. - Associatividade da adição:
— também válida. - Elemento neutro: A função zero
é par e atua como neutro na adição. - Inverso aditivo: Para cada
, a função é par e satisfaz . - Distributividade: A multiplicação escalar distribui sobre a adição de funções e sobre a adição de escalares, o que é válido.
- Associatividade da multiplicação escalar:
— cumprida. - Multiplicação por 1:
— claro.
Resposta
Sim, o conjunto das funções reais pares, com a adição e multiplicação usuais, é um espaço vetorial real, pois satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.