Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
(e) O conjunto das funções reais pares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto das funções reais pares é um espaço vetorial real, usando a adição e a multiplicação que a gente já conhece. Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar o que define um espaço vetorial e ver se essas funções cumprem todas essas regras.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto onde dá pra adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número real, seguindo certas regras. Essas regras incluem propriedades como a comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso, entre outras.

Passo 3

Agora, vamos focar no conjunto das funções reais pares. Uma função é par se pra todo no domínio. Então, vamos ver se esse conjunto, com a adição e multiplicação usuais de funções, satisfaz as propriedades de um espaço vetorial.

Passo 4

Primeiro, verificamos se a adição de duas funções pares é também uma função par. Se (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) e são pares, então:
Ou seja, também é uma função par.

Passo 5

Depois, verificamos a multiplicação de uma função par por um número real. Se (cf)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot f(x) = (cf)(x) é par e é um número real, então:
Logo, também é uma função par.

Passo 6

Agora, vamos conferir as propriedades do espaço vetorial:
  1. Comutatividade da adição: — válido porque a adição de funções é comutativa.
  2. Associatividade da adição: — também válida.
  3. Elemento neutro: A função zero é par e atua como neutro na adição.
  4. Inverso aditivo: Para cada , a função é par e satisfaz .
  5. Distributividade: A multiplicação escalar distribui sobre a adição de funções e sobre a adição de escalares, o que é válido.
  6. Associatividade da multiplicação escalar: — cumprida.
  7. Multiplicação por 1: — claro.

Resposta

Sim, o conjunto das funções reais pares, com a adição e multiplicação usuais, é um espaço vetorial real, pois satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.

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