Dada a equação
, analise se essa superfície pode ser uma hipérbole de uma folha ou duas folhas. Justifique sua resposta.**
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema: a gente tem a equação
e precisa descobrir se essa superfície é uma hipérbole de uma folha ou de duas folhas. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre superfícies quadráticas e completar os quadrados para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
. Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da hipérbole.
Para
:
Para
:
Passo 4
Substituindo essas completas de volta na equação original, temos:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Vamos isolar os termos quadráticos:
Agora, dividimos cada termo pelo 15 para deixar a equação na forma padrão:
Passo 6
Comparando essa equação com a forma padrão das hipérboles:
- Hipérbole de uma folha:
- Hipérbole de duas folhas:
Notamos que temos dois termos positivos e um negativo, o que corresponde à hipérbole de uma folha.
Resposta
A superfície dada é uma hipérbole de uma folha.