Dada a equação x^2+y^2-z^2+4 x-2 z=12, analise se essa superfície pode ser uma hipérbole de uma folha ou duas folhas. Justifique sua resposta.**

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema: a gente tem a equação e precisa descobrir se essa superfície é uma hipérbole de uma folha ou de duas folhas. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre superfícies quadráticas e completar os quadrados para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. Vamos agrupar os termos semelhantes:
x^2 + 4x + y^2 - z^2 - 2z = 12

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 e -z^2 - 2z = -(z^2 + 2z) = -[(z + 1)^2 - 1] = - (z + 1)^2 + 1 . Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da hipérbole.
Para :
Para :

Passo 4

Substituindo essas completas de volta na equação original, temos:
(x + 2)^2 - 4 + y^2 - (z + 1)^2 + 1 = 12
Simplificando os termos constantes:
(x + 2)^2 + y^2 - (z + 1)^2 - 3 = 12

Passo 5

Vamos isolar os termos quadráticos:
(x + 2)^2 + y^2 - (z + 1)^2 = 15
Agora, dividimos cada termo pelo 15 para deixar a equação na forma padrão:
(x + 2)^215 + y^215 - (z + 1)^215 = 1

Passo 6

Comparando essa equação com a forma padrão das hipérboles:
  • Hipérbole de uma folha:
  • Hipérbole de duas folhas:
Notamos que temos dois termos positivos e um negativo, o que corresponde à hipérbole de uma folha.

Resposta

A superfície dada é uma hipérbole de uma folha.

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