Dada a equação 4 x^2+9 y^2-16 z^2=36, determine o tipo de superfície e identifique suas interseções com os planos x=0, y=0 e z=0.**

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de superfície essa equação representa e depois ver como ela se corta com os planos , e . Para isso, vamos precisar entender sobre superfícies quadráticas e como elas interagem com planos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para identificar melhor o tipo de superfície. Dividindo todos os termos por 36, temos:
4x^236 + 9y^236 - 16z^236 = 1
Simplificando as frações:
x^29 + y^24 - z^22.25 = 1
Isso fica mais fácil de analisar dessa forma.

Passo 3

Agora, observando a forma da equação, percebemos que temos dois termos positivos e um negativo. Isso caracteriza um hiperboloide de uma folha. As superfícies com duas variáveis positivas e uma negativa ou vice-versa são sempre hiperboloides. No nosso caso, como temos um termo negativo, é um hiperboloide de uma folha.

Passo 4

Vamos agora encontrar as interseções com os planos 0 + 9y^2 - 16z^2 = 36 implies 9y^2 - 16z^2 = 36 , y^24 - z^22.25 = 1 e 4x^2 + 0 - 16z^2 = 36 implies 4x^2 - 16z^2 = 36 .
Interseção com o plano x^29 - z^22.25 = 1 :
Substituindo 4x^2 + 9y^2 - 0 = 36 implies 4x^2 + 9y^2 = 36 na equação original:
x^29 + y^24 = 1
Dividindo por 36:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano .
Interseção com o plano :
Substituindo :
Dividindo por 36:
Também uma hipérbole, agora no plano .
Interseção com o plano :
Substituindo :
Dividindo por 36:
Essa é a equação de uma elipse no plano .

Resposta

A equação representa um hiperboloide de uma folha. As interseções com os planos são:
  • Plano : Hipérbole
  • Plano : Hipérbole
  • Plano : Elipse

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