Dada a equação
, determine o tipo de superfície e identifique suas interseções com os planos
e
.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de superfície essa equação representa e depois ver como ela se corta com os planos
,
e
. Para isso, vamos precisar entender sobre superfícies quadráticas e como elas interagem com planos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para identificar melhor o tipo de superfície. Dividindo todos os termos por 36, temos:
Simplificando as frações:
Isso fica mais fácil de analisar dessa forma.
Passo 3
Agora, observando a forma da equação, percebemos que temos dois termos positivos e um negativo. Isso caracteriza um hiperboloide de uma folha. As superfícies com duas variáveis positivas e uma negativa ou vice-versa são sempre hiperboloides. No nosso caso, como temos um termo negativo, é um hiperboloide de uma folha.
Passo 4
Vamos agora encontrar as interseções com os planos
,
e
.
Interseção com o plano
:
Substituindo na equação original:
Substituindo
Dividindo por 36:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano
.
Interseção com o plano
:
Substituindo :
Substituindo
Dividindo por 36:
Também uma hipérbole, agora no plano
.
Interseção com o plano
:
Substituindo :
Substituindo
Dividindo por 36:
Essa é a equação de uma elipse no plano
.
Resposta
A equação
representa um hiperboloide de uma folha. As interseções com os planos são:
- Plano
: Hipérbole - Plano
: Hipérbole - Plano
: Elipse