© A série sumk=1^infty 2 k+13 k^2-1
( ) converge pelo teste da razão

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita dada por:
sumk=1^infty 2k + 13k^2 - 1
E a pergunta é: essa série converge pelo teste da razão? Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica da Análise de Séries para verificar se uma série converge ou não. Esse teste nos ajuda a comparar termos consecutivos da série para ver como eles se comportam quando cresce.

Passo 2

O próximo passo é aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série L = limk to infty | ak+1ak | converge se o limite:
for menor que 1 ( ). Se , a série diverge, e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar ak = 2k + 13k^2 - 1 na nossa série:
ak+1 = 2(k + 1) + 13(k + 1)^2 - 1 = 2k + 33(k^2 + 2k + 1) - 1 = 2k + 33k^2 + 6k + 2
Então, precisamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos formar a razão ak+1ak = 2k + 33k^2 + 6k + 22k + 13k^2 - 1 = 2k + 33k^2 + 6k + 2 times 3k^2 - 12k + 1 :
ak+1ak = (2k + 3)(3k^2 - 1)(3k^2 + 6k + 2)(2k + 1)
Simplificando essa expressão:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limk to infty (2k + 3)(3k^2 - 1)(3k^2 + 6k + 2)(2k + 1) tende ao infinito:
L = 6k^36k^3 = 1
Para simplificar, vamos observar os termos de maior grau no numerador e no denominador:
No numerador:
No denominador:
Então, o limite fica:

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, se , o teste não é conclusivo. Isso significa que, com o Teste da Razão, não conseguimos determinar se a série converge ou diverge. Precisamos usar outro método para analisar a convergência dessa série.

Resposta

A série não converge pelo Teste da Razão, já que o limite não nos dá uma conclusão definitiva.

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