Use o teste da razão para convergência absoluta (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o teste da razão para verificar se a série converge ou diverge. O teste da razão é uma técnica da matéria de séries de Maclaurin e Taylor que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas. Vamos precisar analisar o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O teste da razão envolve calcular o limite .
Passo 3
Vamos calcular essa razão:
Simplificando os sinais e as potências:
Passo 4
Agora, calculamos o limite conforme tende ao infinito:
Passo 5
Segundo o teste da razão, se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, o limite é 0, que é claramente menor que 1.
Resposta
A série converge absolutamente pelo teste da razão.