Use o teste da razão para convergência absoluta (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
sumk=1^infty(-1)^k+1 2^kk!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o teste da razão para verificar se a série sumk=1^infty(-1)^k+1 2^kk! converge ou diverge. O teste da razão é uma técnica da matéria de séries de Maclaurin e Taylor que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas. Vamos precisar analisar o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é ak = (-1)^k+1 2^kk!. O teste da razão envolve calcular o limite limk to infty | ak+1ak |.

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
| ak+1ak | = | (-1)^(k+1)+1 2^k+1(k+1)!(-1)^k+1 2^kk! |
Simplificando os sinais e as potências:
= 2^k+1(k+1)! cdot k!2^k = 2 cdot 2^k(k+1) cdot k! cdot k!2^k = 2k+1

Passo 4

Agora, calculamos o limite conforme k tende ao infinito:
limk to infty 2k+1 = 0

Passo 5

Segundo o teste da razão, se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, o limite é 0, que é claramente menor que 1.

Resposta

A série sumk=1^infty(-1)^k+1 2^kk! converge absolutamente pelo teste da razão.

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