Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para determinar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada de em relação a , que nos dará a inclinação da reta tangente. Como é uma função quociente, vamos aplicar a Regra do Quociente:
ã

Passo 3

Identificamos e . Agora, vamos calcular as derivadas e :
Substituindo na fórmula da regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a derivada e avaliar em :
Primeiro, substituímos na expressão de :
Calculando passo a passo:
Portanto, a inclinação da reta tangente em é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da reta tangente (forma ponto-inclinação):
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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© A série
( ) converge pelo teste da razão
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(t)
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