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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral imprópria:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos e substituição por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e aplicar substituição de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria como um limite:
Isso facilita o cálculo, pois agora estamos lidando com uma integral definida entre 2 e um número finito , que depois vamos mandar para o infinito.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar a substituição. Vamos definir:
Dessa forma, precisamos calcular . Sabemos que:
Perceba que temos na nossa integral original, que corresponde a .

Passo 4

Com a substituição feita, nossa integral fica mais simples:
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 5

Integrando , temos:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração depois.

Passo 6

Voltando à nossa substituição , substituímos de volta:
Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a :

Passo 7

Agora, temos que calcular o limite quando vai para o infinito:
À medida que cresce sem limites, também cresce sem limites, então vai tendendo a 0.

Passo 8

Portanto, o limite fica:

Resposta

O valor da integral é .

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