& g) integral2^infty 1x(ln x)^2 d x=lim t +infty integral2^t 1x(ln x)^2 d x=(A) & integral2^t 1x(ln x)^2 d x ln x=u1x=d u integral 1u^2 d u=-1u=-1ln x|2 ^t=-1ln t-(-1ln 2) & =-1ln t+1ln 2
(t) lim t +infty -1ln t+1ln 2=1ln 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral imprópria:
integral2^infty 1x(ln x)^2 , dx
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos e substituição por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e aplicar substituição de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria como um limite:
integral2^infty 1x(ln x)^2 , dx = limt to +infty integral2^t 1x(ln x)^2 , dx
Isso facilita o cálculo, pois agora estamos lidando com uma integral definida entre 2 e um número finito , que depois vamos mandar para o infinito.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral u = ln x . Para isso, vamos usar a substituição. Vamos definir:
dudx = 1x Rightarrow du = 1x , dx
Dessa forma, precisamos calcular . Sabemos que:
Perceba que temos na nossa integral original, que corresponde a .

Passo 4

Com a substituição feita, nossa integral fica mais simples:
integral 1x(ln x)^2 , dx = integral 1u^2 , du
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 5

Integrando integral 1u^2 , du = -1u + C , temos:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração depois.

Passo 6

Voltando à nossa substituição -1u = -1ln x , substituímos de volta:
-1ln x |2^t = -1ln t - ( -1ln 2 ) = -1ln t + 1ln 2
Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a :

Passo 7

Agora, temos que calcular o limite quando limt to +infty ( -1ln t + 1ln 2 ) vai para o infinito:
À medida que cresce sem limites, também cresce sem limites, então vai tendendo a 0.

Passo 8

Portanto, o limite fica:
0 + 1ln 2 = 1ln 2

Resposta

O valor da integral é .

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