© A série
( ) diverge pelo teste da comparação no limite
( ) diverge pelo teste da comparação no limite
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita, que é
. O objetivo aqui é descobrir se essa série diverge usando o teste da comparação no limite. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse teste e comparar nossa série com uma que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da comparação no limite. Esse teste ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento. A gente calcula o limite do termo geral da série que queremos testar dividido pelo termo geral da série de comparação. Se esse limite for um número positivo e finito, ambas as séries vão ter o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série de comparação. Observando a nossa série
, percebemos que para valores grandes de
, os termos dominantes são
no numerador e
no denominador. Então, podemos comparar com a série
, que é uma série do tipo harmônica bem conhecida que diverge.
Passo 4
Vamos calcular o limite do termo geral da nossa série dividido pelo termo da série de comparação:
Dividindo numerador e denominador por
:
O limite deu 1, que é um número positivo e finito.
Passo 5
Como o limite calculado é positivo e finito, segundo o teste da comparação no limite, a série
vai comportar-se como a série de comparação
. E já sabemos que a série harmônica
diverge, então a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo teste da comparação no limite.
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Calcular a equação da superfície esférica com centro no ponto
e que contém o ponto
.
( 25 Pontos)
( 25 Pontos)
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
Use o teste da comparaçâo no limite com alguma
série (adequada) para decidir se a série
converge ou diverge.
Escreva os primeiros elementos da sequência
e determine se ela converge ou diverge. Justifique.