© A série
( ) diverge pelo teste da comparação no limite

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita, que é . O objetivo aqui é descobrir se essa série diverge usando o teste da comparação no limite. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse teste e comparar nossa série com uma que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da comparação no limite. Esse teste ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento. A gente calcula o limite do termo geral da série que queremos testar dividido pelo termo geral da série de comparação. Se esse limite for um número positivo e finito, ambas as séries vão ter o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série de comparação. Observando a nossa série , percebemos que para valores grandes de , os termos dominantes são no numerador e no denominador. Então, podemos comparar com a série , que é uma série do tipo harmônica bem conhecida que diverge.

Passo 4

Vamos calcular o limite do termo geral da nossa série dividido pelo termo da série de comparação:
Dividindo numerador e denominador por :
O limite deu 1, que é um número positivo e finito.

Passo 5

Como o limite calculado é positivo e finito, segundo o teste da comparação no limite, a série vai comportar-se como a série de comparação . E já sabemos que a série harmônica diverge, então a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da comparação no limite.

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Calcular a equação da superfície esférica com centro no ponto e que contém o ponto .
( 25 Pontos)
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
Use o teste da comparaçâo no limite com alguma série (adequada) para decidir se a série converge ou diverge.
Escreva os primeiros elementos da sequência e determine se ela converge ou diverge. Justifique.