© A série sumk=1^infty 2 k+13 k^2-1
( ) diverge pelo teste da comparação no limite

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita, que é sumk=1^infty 2k+13k^2-1. O objetivo aqui é descobrir se essa série diverge usando o teste da comparação no limite. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse teste e comparar nossa série com uma que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da comparação no limite. Esse teste ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento. A gente calcula o limite do termo geral da série que queremos testar dividido pelo termo geral da série de comparação. Se esse limite for um número positivo e finito, ambas as séries vão ter o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série de comparação. Observando a nossa série sumk=1^infty 2k+13k^2-1, percebemos que para valores grandes de sumk=1^infty 2k3k^2 = sumk=1^infty 23k, os termos dominantes são no numerador e no denominador. Então, podemos comparar com a série , que é uma série do tipo harmônica bem conhecida que diverge.

Passo 4

Vamos calcular o limite do termo geral da nossa série dividido pelo termo da série de comparação:
limk to infty 2k+13k^2-123k = limk to infty (2k+1) cdot 3k2 cdot (3k^2-1) = limk to infty 6k^2 + 3k6k^2 - 2
Dividindo numerador e denominador por limk to infty 6 + 3k6 - 2k^2 = 6 + 06 - 0 = 1 :
O limite deu 1, que é um número positivo e finito.

Passo 5

Como o limite calculado é positivo e finito, segundo o teste da comparação no limite, a série sumk=1^infty 2k+13k^2-1 vai comportar-se como a série de comparação sumk=1^infty 23k. E já sabemos que a série harmônica sumk=1^infty 1k diverge, então a nossa série também diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty 2k+13k^2-1 diverge pelo teste da comparação no limite.

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