Use o teste da comparaçâo no limite com alguma
série (adequada) para decidir se a série
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série:
. A gente vai usar o Teste da Comparação no Limite, comparando com uma p-série adequada. Para isso, precisamos entender como os termos dessa série se comportam conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Quando
é grande,
e
ficam menos significativos comparados a
. Então, podemos aproximar:
Passo 3
Agora, olhando para o denominador
, percebemos que
também é negligível para
grande, então:
Passo 4
Com essas aproximações, o termo geral da série fica aproximadamente:
Passo 5
A série que nos dá base para a comparação é a p-série
. Sabemos que uma p-série converge se
. Aqui,
, então essa p-série converge.
Passo 6
Agora, aplicando o Teste da Comparação no Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Passo 7
Como o limite é uma constante positiva diferente de zero (
), e a p-série
converge, então a série original também converge pelo Teste da Comparação no Limite.
Resposta
A série
converge.