Use o teste da comparaçâo no limite com alguma p série (adequada) para decidir se a série sumn=1^infty raizn^2-n+1n^3+2 converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série: . A gente vai usar o Teste da Comparação no Limite, comparando com uma p-série adequada. Para isso, precisamos entender como os termos dessa série se comportam conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão raizn^2-n+1 approx raizn^2 = n . Quando é grande, e ficam menos significativos comparados a . Então, podemos aproximar:

Passo 3

Agora, olhando para o denominador n^3 + 2 approx n^3 , percebemos que também é negligível para grande, então:

Passo 4

Com essas aproximações, o termo geral da série fica aproximadamente:
raizn^2-n+1n^3+2 approx nn^3 = 1n^2

Passo 5

A série que nos dá base para a comparação é a p-série . Sabemos que uma p-série converge se . Aqui, , então essa p-série converge.

Passo 6

Agora, aplicando o Teste da Comparação no Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
limn to infty raizn^2-n+1n^3+21n^2 = limn to infty n cdot n^2n^3 = limn to infty n^3n^3 = 1

Passo 7

Como o limite é uma constante positiva diferente de zero ( ), e a p-série converge, então a série original também converge pelo Teste da Comparação no Limite.

Resposta

A série converge.

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