Escreva os primeiros elementos da sequência e determine se ela converge ou diverge. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever os primeiros termos da sequência e descobrir se essa sequência converge ou diverge. Aqui, vamos trabalhar com o conteúdo de sequências e limites, que são partes importantes de cálculo. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular alguns termos da sequência e entender como eles se comportam conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da sequência para ver o padrão. Substituindo por 1, 2, 3, 4 e assim por diante:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, os primeiros termos são: -1, 0,5, -0,333, 0,25, -0,2, …

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento desses termos conforme cresce. Observamos que o numerador alterna entre -1 e 1 a cada incremento de . Isso faz com que os termos sejam positivos e negativos alternadamente. Já o denominador cresce sem parar, ou seja, fica cada vez maior.

Passo 4

Para entender se a sequência converge ou diverge, precisamos ver o que acontece com os termos quando vai para o infinito. A fórmula indica que o termo se torna cada vez menor em valor absoluto, já que tende a 0 conforme aumenta.
Matematicamente, temos:
Isso porque, mesmo que o sinal alterne, o valor absoluto está diminuindo para 0.

Resposta

A sequência converge para 0.

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Use o teste da comparaçâo no limite com alguma série (adequada) para decidir se a série converge ou diverge.
© A série
( ) diverge pelo teste da comparação no limite
Escreva os quatro primeiros termos da série e em seguida teste sua convergência.
Escreva os primeiros elementos da sequência e determine se ela converge ou diverge. Justifique.