Escreva os primeiros elementos da sequência
e determine se ela converge ou diverge. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever os primeiros termos da sequência
e descobrir se essa sequência converge ou diverge. Aqui, vamos trabalhar com o conteúdo de sequências e limites, que são partes importantes de cálculo. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular alguns termos da sequência e entender como eles se comportam conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da sequência para ver o padrão. Substituindo
por 1, 2, 3, 4 e assim por diante:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Então, os primeiros termos são: -1, 0,5, -0,333, 0,25, -0,2, …
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento desses termos conforme
cresce. Observamos que o numerador
alterna entre -1 e 1 a cada incremento de
. Isso faz com que os termos sejam positivos e negativos alternadamente. Já o denominador
cresce sem parar, ou seja, fica cada vez maior.
Passo 4
Para entender se a sequência converge ou diverge, precisamos ver o que acontece com os termos quando
vai para o infinito. A fórmula
indica que o termo se torna cada vez menor em valor absoluto, já que
tende a 0 conforme
aumenta.
Matematicamente, temos:
Isso porque, mesmo que o sinal alterne, o valor absoluto está diminuindo para 0.
Resposta
A sequência
converge para 0.
Exercícios relacionados
Use o teste da comparaçâo no limite com alguma
série (adequada) para decidir se a série
converge ou diverge.
© A série
( ) diverge pelo teste da comparação no limite
( ) diverge pelo teste da comparação no limite
Escreva os quatro primeiros termos da série
e em seguida teste sua convergência.
Escreva os primeiros elementos da sequência
e determine se ela converge ou diverge. Justifique.